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Momento de Inércia e Torque

Mensagempor lecko » Sáb 27 Jul, 2013 04:08 (1996 exibições)


Questão 17 - Uma polia, como mostrada na figura, tem um raio R e momento de inércia I. Por outro lado, o bloco de massa m tem um de seus lados conectado a uma mola de constante elástica K e o outro a uma corda de massa desprezível que passa pela polia. A polia e a superfície do plano inclinado não têm atrito. A polia é então, girada em sentido anti-horário, esticando a mola de uma distância d em relação a sua posição de equilíbrio. Então, a polia é solta do repouso. Calcule, qual será a velocidade angular da polia quando a mola estiver novamente em sua posição de equilíbrio.
16.jpg
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Re: Momento de Inércia e Torque  Tópico Solucionado

Mensagempor micro » Sáb 27 Jul, 2013 09:02


Para achar a velocidade angular é preciso primeiramente calcular a aceleração angular da polia.

Usar a fórmula da relação entre torque e aceleração angular:
\tau=I\alpha
Torque na roda, sendo T a tensão na corda
\tau=RT
Igualando temos:
I\alpha=RT
\alpha=\frac{RT}{I}

Agora basta aplicar a segunda lei de Newton para calcular a tensão T na corda exercida pelo conjunto bloco+mola
mg\sin \theta+kd-T=ma
a=\frac{mg\sin \theta+kd-T}{m}

Como a aceleração linear da corda é igual a aceleração angular da roda deve-se usar a fórmula da relação entre velocidade angular e linear.
\boxed{a=\alpha R}

Fundindo as 2 equações da aceleração nessa temos:

\frac{mg\sin \theta+kd-T}{m}=\frac{R^2T}{I}
m R^2T=I.(mg\sin \theta+kd-T)
T=I.(mg\sin \theta+kd-T)
T=\frac{I(mg\sin \theta +kd)}{mR^2+I}

Substituindo na equação da aceleração angular temos:
\alpha=\frac{RT}{I}=\frac{ R\left(\frac{I(mg\sin \theta +kd)}{mR^2+I}\right)}{I}=\frac{R(mg\sin \theta +kd)}{mR^2+I}

Já que o bloco desce em movimento acelerado até atingir a posição de equilíbrio, sendo que este percorre uma distância d é só usar a equação de Torricelli para a velocidade angular
V^2=V_0^2+2ad

w^2=w_0^2+2.\alpha.d

Como o bloco e a polia parte do repouso temos
w_0=0
w^2=2.\left(\frac{R(mg\sin \theta +kd)}{mR^2+I}\right).d
\color {red}w={\sqrt{\frac{2Rd(mgsin \theta+kd)}{mR^2+I}


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Re: Momento de Inércia e Torque

Mensagempor lecko » Sáb 27 Jul, 2013 14:59


Estava conferindo e só teve um erro, foi na fórmula:
w^2=w_0^2+2.\alpha.d, o correto dela é:

w^2=w_0^2+2.\alpha.\phi, temos por definição matemática que: d=R.\phi \therefore \phi=\frac{d}{R}

Substituindo tudo no final o resultado é:
\color {red}w={\sqrt{\frac{2d(mgsin \theta+kd)}{mR^2+I}
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Re: Momento de Inércia e Torque

Mensagempor micro » Sáb 27 Jul, 2013 20:20


verdade, eu ia corrigir isso agora mas parece que você fez isso. :lol:

Não estou acostumado a usar radianos.
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