Olá Rodrigotmacedo!! Essa dái é do ITA de 2007,né? a)Para que as raízes quadradas pertençam aos reais,temos duas condições: x^2-1\geq 0 => x^2\geq 1 e x^2-p\geq 0 => x^2\geq p . A partir da equação inicial: \sqrt {x^2-p}+2\cdot \sqrt {x^2-1}=x => (\sqrt {x^2-p})^2=(x-2\sqrt {x^2-1})^2 => x^2-p=x^2-4...

Prezado Natan: Pelo bem da verdade, esta solução não é minha. Fazendo x=\frac{1}{a}\,\,\,y=\frac{1}{b}\,\,e\,\,c=\frac{1}{z} , fica: 4+a^2=4b 4+b^2=4c 4+c^2=4a Somando as 3 equações: (a-2)^2+(b-2)^2+(c-2)^2=0 Então: (a-2)^2=(b-2)^2=(c-2)^2=0 Logo: a=b=c=2 \rightarrow x=y=z=\frac{1}{2} [ ]'s.

Olá Natan, Vamos reescrever nossa equação: \frac{3x^5 + 5x^3 + 7x}{15} Para que o número seja inteiro, ele deve ser múltiplo de 15, ou seja, múltiplo de 5 e 3 simultaneamente. Para resolver o problema vamos o usar a notação de classes de congruência. Primeiramente vamos mostrar que a expressão do nu...

Olá Natan, Vou usar a relação: x^n - y^n = (x-y)(x^{n-1} + x^{n-2} y + ... + y^{n-2} x + y^{n-1}) Logo, a^5-b^5 = (a-b)(a^4 + a^3 b + a^2 b^2 + ab^3 + b^4) b^5-c^5=(b-c)(b^4 + b^3 c + b^2 c^2 + bc^3 + c^4) c^5-a^5=(c-a)(c^4+c^3 a + c^2 a^2 + ca^3 + a^4) Jogando na equação dada: \frac{(a-b)(a^4 + a^3...

Olá Natan, A primeira tentativa seria descobrir as raízes e substituir. Mas, para este polinômio, isso não é uma tarefa fácil. Vamos, então, fatorar a expressão pedida. Utilizando diferença de dois números à quinta pontência \Large\boxed{x^5-y^5=(x-y)\cdot(x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4)} \frac{a^5-b^5}{a...

Olá a todos, Neste link há uma solução para este problema. E postarei uma semelhante sem usar o valor do seno: sen^3 (18^{\circ}) + sen^2 (18^{\circ}) = =sen^2 (18^{\circ})(sen(18^{\circ}) + sen(90^{\circ})) = = sen^2 (18^{\circ}) \cdot 2 sen(54^{\circ}) \cdot cos(36^{\circ}) = =2sen^2 (18^{\circ}) ...

Olá Poti,

Vamos chamar [tex3]x^3=y[/tex3]

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[tex3]x^3=y[/tex3]

, assim temos,
[tex3]x^y=3[/tex3]

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[tex3]x^y=3[/tex3]

Das duas relações tiramos,
[tex3]ln(y)=3.ln(x)[/tex3]

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[tex3]ln(y)=3.ln(x)[/tex3]

[tex3]y.ln(x)=ln(3)[/tex3]

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[tex3]y.ln(x)=ln(3)[/tex3]

Logo,
[tex3]y.ln(y)=3.ln(3)[/tex3]

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[tex3]y.ln(y)=3.ln(3)[/tex3]

Que é válido para [tex3]y=3[/tex3]

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[tex3]y=3[/tex3]

Portanto,
[tex3]\boxed{x=\sqrt[3]{3}}[/tex3]

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[tex3]\boxed{x=\sqrt[3]{3}}[/tex3]

Abraço.

Seja [tex3]\alpha,\beta ,\gamma,...,\omega[/tex3]

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[tex3]\alpha,\beta ,\gamma,...,\omega[/tex3]

raízes de um polinômio. Definimos a Soma de Newton da seguinte forma:
[tex3]S_k=\alpha^k+\beta^k+\gamma^k+...[/tex3]

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[tex3]S_k=\alpha^k+\beta^k+\gamma^k+...[/tex3]

Dado um polinômio: [tex3]P(x)=ax^n+bx^{n-1}+...+l\cdot x+m[/tex3]

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[tex3]P(x)=ax^n+bx^{n-1}+...+l\cdot x+m[/tex3]

é válido que:
[tex3]a\cdot S_k+b\cdot S_{k-1}+...+l\cdot S_{k-n+1}+m\cdot S_{k-n}=0,\hspace{10pt}k\in \mathbb{Z}[/tex3]

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[tex3]a\cdot S_k+b\cdot S_{k-1}+...+l\cdot S_{k-n+1}+m\cdot S_{k-n}=0,\hspace{10pt}k\in \mathbb{Z}[/tex3]

Demonstração

Sendo [tex3]\alpha,\beta ,\gamma,...,\omega[/tex3]

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[tex3]\alpha,\beta ,\gamma,...,\omega[/tex3]

as raízes do polinômio, temos que:
[tex3]P(\alpha)=P(\beta)=...=P(\omega)=0[/tex3]

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[tex3]P(\alpha)=P(\beta)=...=P(\omega)=0[/tex3]

Logo,
[tex3]\begin{cases}a\cdot \alpha^n+b\cdot \alpha^{n-1}+...+l\cdot \alpha+m=0\\a\cdot \beta^n+b\cdot \beta^{n-1}+...+l\cdot \beta+m=0\\ \hspace{100pt}\vdots \\a\cdot \omega^n+b\cdot \omega^{n-1}+...+l\cdot \omega+m=0\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}a\cdot \alpha^n+b\cdot \alpha^{n-1}+...+l\cdot \alpha+m=0\\a\cdot \beta^n+b\cdot \beta^{n-1}+...+l\cdot \beta+m=0\\ \hspace{100pt}\vdots \\a\cdot \omega^n+b\cdot \omega^{n-1}+...+l\cdot \omega+m=0\end{cases}[/tex3]

Multiplicando cada equação, respectivamente por [tex3]\alpha^{k-n},\beta^{k-n},...,\omega^{k-n}[/tex3]

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[tex3]\alpha^{k-n},\beta^{k-n},...,\omega^{k-n}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}a\cdot \alpha^{n+k-n}+b\cdot \alpha^{n-1+k-n}+...+l\cdot \alpha^{1+k-n}+m\cdot \alpha^{k-n}=0\\a\beta^{n+k-n}+b\cdot \beta^{n-1+k-n}+...+l\cdot \beta^{1+k-n}+m\cdot \beta^{k-n}=0\\ \hspace{100pt}\vdots \\a\cdot \omega^{n+k-n}+b\cdot \omega^{n-1+k-n}+...+l\cdot \omega^{1+k-n}+m\cdot \omega^{k-n}=0\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}a\cdot \alpha^{n+k-n}+b\cdot \alpha^{n-1+k-n}+...+l\cdot \alpha^{1+k-n}+m\cdot \alpha^{k-n}=0\\a\beta^{n+k-n}+b\cdot \beta^{n-1+k-n}+...+l\cdot \beta^{1+k-n}+m\cdot \beta^{k-n}=0\\ \hspace{100pt}\vdots \\a\cdot \omega^{n+k-n}+b\cdot \omega^{n-1+k-n}+...+l\cdot \omega^{1+k-n}+m\cdot \omega^{k-n}=0\end{cases}[/tex3]

Arrumando
[tex3]\begin{cases}a\cdot \alpha^k+b\cdot \alpha^{k-1}+...+l\cdot \alpha^{k-n+1}+m\cdot \alpha^{k-n}=0\\a\cdot \beta^k+b\cdot \beta^{k-1}+...+l\cdot \beta^{k-n+1}+m\cdot \beta^{k-n}=0\\ \hspace{100pt}\vdots \\a\cdot \omega^k+b\cdot \omega^{k-1}+...+l\cdot \omega^{k-n+1}+m\cdot \omega^{k-1}=0\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}a\cdot \alpha^k+b\cdot \alpha^{k-1}+...+l\cdot \alpha^{k-n+1}+m\cdot \alpha^{k-n}=0\\a\cdot \beta^k+b\cdot \beta^{k-1}+...+l\cdot \beta^{k-n+1}+m\cdot \beta^{k-n}=0\\ \hspace{100pt}\vdots \\a\cdot \omega^k+b\cdot \omega^{k-1}+...+l\cdot \omega^{k-n+1}+m\cdot \omega^{k-1}=0\end{cases}[/tex3]

Somando,
[tex3]a\cdot \underbrace{(\alpha^k+\beta^k+...+\omega^k)}_{S_k}+b\cdot \underbrace{(\alpha^{k-1}+\beta^{k-1}+...+\omega^{k-1})}_{S_{k-1}}+...+l\cdot \underbrace{(\alpha^{k-n+1}+\beta^{k-n+1}+...+\omega^{k-n+1})}_{S_{k-n+1}}++m\cdot \underbrace{(\alpha^{k-n}+\beta^{k-n}+...+\omega^{k-n})}_{S_{k-n}}=0[/tex3]

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[tex3]a\cdot \underbrace{(\alpha^k+\beta^k+...+\omega^k)}_{S_k}+b\cdot \underbrace{(\alpha^{k-1}+\beta^{k-1}+...+\omega^{k-1})}_{S_{k-1}}+...+l\cdot \underbrace{(\alpha^{k-n+1}+\beta^{k-n+1}+...+\omega^{k-n+1})}_{S_{k-n+1}}++m\cdot \underbrace{(\alpha^{k-n}+\beta^{k-n}+...+\omega^{k-n})}_{S_{k-n}}=0[/tex3]

Portanto,
[tex3]\boxed{\boxed{a\cdot S_k+b\cdot S_{k-1}+...+l\cdot S_{k-n-1}+m\cdot S_{k-n}=0,\hspace{10pt}k\in \mathbb{Z}}}[/tex3]

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[tex3]\boxed{\boxed{a\cdot S_k+b\cdot S_{k-1}+...+l\cdot S_{k-n-1}+m\cdot S_{k-n}=0,\hspace{10pt}k\in \mathbb{Z}}}[/tex3]

Pelo critério de d'Lambert: A série \sum_{n=1}^{\infty} a_n é absolutamente convergente se \lim_{n \to \infty} |\frac{a_{n+1}}{a_n}| = L , com L < 1 . \frac{(n+1)!}{3.5.7...(2n+1)(2n+3)} . \frac{3.5.7...(2n+1)}{n!} = \frac{n+1}{2n+3} = \frac{1 + \frac{1}{n}}{2 + \frac{3}{n}} \lim_{n \to \infty} \fra...

Olá Natan. Lembre-se que toda sequência é uma função. f(2n) = \frac{1}{3^n} f(2n-1) = \frac{1}{3^{n+1}} Fazendo 2n = x : f(x) = \frac{1}{3^{\frac{x}{2}}} f(x-1) = \frac{1}{3^{\frac{x+1}{2}}} Veja que temos: f(x+1) = \frac{1}{3^{\frac{x-1}{2}}} Pelo Critério de d'Lambert, a série \sum_{k=0}^{\infty}a...