Progressões Geométricas - Exercícios Resolvidos

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1) Sendo 32 o primeiro termo de uma PG e 2 é a sua razão, calcule o termo de ordem 8.

- Informações do exercício:

$formdata=a_1=32\hspace{20}q=2\hspace{20}a_8=?\hspace{20}n=8$

- Vamos usar a fórmula do termo geral:

$formdata=a_n=a_1\cdot+q^{n-1}\\a_8=a_1\cdot+q^{8-1}\\a_8=32\cdot+2^{7}\\a_8=32\cdot+128\\a_8=4096$

2) (UCS) O valor de x para que a seqüência $formdata=(x+1,\,\,x,\,\,x+2)$ seja uma PG é:

(A) $formdata=\frac+12$

(B) $formdata=\frac+23$

(C) $formdata=-\frac+23$

(D) $formdata=-\frac+12$

(E) $formdata=3$

- Vamos utilizar a propriedade básica de uma PG.

$formdata=\frac{a_2}{a_1}=\frac{a_3}{a_2}$

- Substituindo pelos nosso valores:

$formdata=\frac{x}{x+1}=\frac{x+2}{x}\\x^2=(x+2)(x+1)\\x^2=x^2+3x+2\\-3x=2\\x=-\frac+23$ Resposta certa letra "C".

3) Em uma PG o primeiro termo é $formdata=sqrt+2$ , e o terceiro, $formdata=\sqrt[14]{2^9}$ . O valor do décimo termo é

(A) $formdata=\sqrt{2}$

(B) $formdata=4$

(C) $formdata=2\sqrt[7]{2}$

(D) $formdata=2\sqrt{2}$

(E) $formdata=4\sqrt{2}$

- Informações:

$formdata=a_1=\sqrt{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_3=\sqrt[14]{2^9}\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_{10}=?$

- Vamos aplicar a fórmula do termo geral para achar a razão:

$formdata=a_3=a_1\cdot+q^{3-1}\\\sqrt[14]{2^9}=\sqrt{2}\cdot+q^2\\\frac{\sqrt[14]{2^9}}{\sqrt{2}}=q^2\\q=\sqrt{\frac{\sqrt[14]{2^9}}{\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt[28]{2^9}}{\sqrt[4]{2}}=\frac{2^{\frac{9}{28}}}{2^{\frac{1}{4}}}=2^{\frac{9}{28}-\frac{1}{4}}=2^{\frac{1}{14}}$

- Agora que encontramos a razão, podemos aplicar a fórmula do termo geral para encontrar o décimo termo:

$formdata=a_{10}=a_1\cdot+q^{10-1}\\ a_{10}=\sqrt{2}\cdot\left({2^{\frac{1}{14}}}\right)^9\\ a_{10}=2^{\frac+12}\cdot+2^{\frac{9}{14}}\\ a_{10}=2^{\frac+12+\frac{9}{14}}\\ a_{10}=2^{\frac{8}{7}}\\ a_{10}=\sqrt[7]{2^8}\\ a_{10}=\sqrt[7]{2^7\cdot+2}\\ a_{10}=2\sqrt[7]{2}\\$

Resposta certa, letra "C".

4) (UFPA) Na PG de termos positivos $formdata=(a,\,\,\,b,\,\,\,c)$ , temos:

$formdata=\left\{a+b+c=91\\a\cdot+c=441\right.$

Então, $formdata=(a+c)$ é igual a:

(A) 21
(B) 49
(C) 53
(D) 63
(E) 70

- Informações:
a₁=a a₂=b a₃=c

a+b+c=91
a*c=441
a+c=?

(1)
(2)

- O que queremos saber é (a+c). Portanto, utilizando a equação (1), podemos dizer que::

a+b+c=91
a+c=91-b

(3)

- Então, se descobrirmos o valor de "b" podemos substituir nesta fórmula e achar o que é pedido. Para isso vamos pegar a equação (2) e substituir o termo "c", que é o a₃, pelo seu equivalente na fórmula geral:

a₃=a₁*q^3-1
c=a*q²

Substituindo:

a*c=441
a*a*q²=441
a²*q²=441
(aq)²=441
aq=21

- Como o termo "b" é o segundo, então:
b=aq
aq=21 logo b=21

- Substituindo na equação (3):
a+c=91-b
a+c=91-21
a+c=70 Resposta certa, letra "E"

5) (FUVEST) Numa progressão geométrica de quatro termos positivos, a soma dos dois primeiros vale 1 e a soma dos dois últimos vale 9. calcule a razão da progressão.

(A) 3
(B) 5
(C) 7
(D) 9
(E) 11

- Informações:
a₁+a₂=1
a₃+a₄=9 q=?

- Vamos substituir todos os termos das duas equações acima pelos seus equivalentes na fórmula do termo geral:
a₂=a₁*q
a₃=a₁*q²
a₄=a₁*q³

- Trocando os valores das equações dadas pelos termos acima, ficamos com o seguinte sisteminha de equações:

a₁+a₁*q=1
a₁*q²+a₁*q³=9

a₁(1+q) = 1	(1)
a₁(q²+q³) = 9	(2)

- Vamos dividir a equação (2) pela (1):

$formdata=\frac{q^2+q^3}{1+q}=9\\ q^2+q^3=9+9q\\ q^3+q^2-9q-9=0$

- Resolvendo esta equação, achamos as raízes valendo -1, -3 e 3. O problema diz que os termos desta PG são positivos, portanto o único valor que a razão pode ser é 3.

Resposta certa letra "A"

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1 • Introdução 2 • Termo Geral 3 • Exercícios Resolvidos 4 • Soma PG finita 5 • Soma PG infinita 6 • Interpolação de Meios 7 • Exercícios de Fixação

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