Progressões Aritméticas - Exercícios (Resolução)
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1) O sétimo termo de uma PA é 20 e o décimo é 32. Então o vigésimo termo é

    (A) 60
    (B) 59
    (C) 72
    (D) 80
    (E) 76

- Informações do problema:
    a7=20     a10=32     a20=?

- Primeiro vamos colocar todos termos conhecidos na fórmula do termo geral:
    a7=a1+6r    a10=a1+9r
    20=a1+6r    32=a1+9r

- Formamos um sistema de equações e resolvemos:

20=a1+6r
32=a1+9r

       Vamos isolar o termo a1na primeira equação

a1=20-6r

       Agora vamos substituir este valor na segunda equação

32=20-6r+9r
32-20=9r-6r
12=3r
r=12/3
r=4

       Agora sabemos o valor da razão, podemos substituir na primeira equação e achar o valor do a1.

20=a1+6·4
20=a1+24
a1=-24+20
a1= -4

        Pronto!! Sabemos a razão e o primeiro termo. O exercício pedo o vigésimo. Vamos aplicar a fórmula do termo geral.

a20=a1+19r
a20=-4+19·4
a20=-4+19·4
a20=72

Resposta certa letra "C".

2) O único valor de x que verifica a equação (x-2)+(x-5)+(x-8)+...+(x-47)=424 é

    (A) 51
    (B) 41
    (C) 31
    (D) 61
    (E) 71

- Note que temos uma PA no lado esquerdo da equação com:
    a1= (x-2)
    a2= (x-5)
    ...

- Sabemos que é uma PA pois a cada termo estamos somando uma mesma constante (a razão, que no caso é -3). Para descobrir esta razão simplesmente fazemos:

   r=a2-a1=(x-5)-(x-2)  
    r=x-5-x+2 Menos com menos dá mais, por isso temos +2
    r=-5+2 X com -X se anulam
    r=-3 Esta é a razão

- Como os termos estão sendo somados, devemos usar a fórmula da soma dos termos de uma PA. Já sabemos o primeiro termo, o último termo e a razão, mas para usar a fórmula da soma devemos saber o número de termos (ou seja, "n"). Para calcularmos vamos aplicar a fórmula do termo geral no último termo:

an=a1+(n-1)r      Substituindo por seus valores
(x-47)=(x-2)+(n-1)·(-3)
x-47-x+2= -3n+3
-45-3= -3n
-3n=-48
n=48/3
n=16

- Agora sim podemos usar a fórmula da soma:
Sn=(a1+an)*n/2
Sn=[(x-2)+(x-47)]*16/2
Sn=(2x-49)*8
Sn=16x-392

- Vamos voltar na equação do exercício e substituir todo lado esquerdo da equação pelo valor calculado:
(x-2)+(x-5)+(x-8)+...+(x-47)=424
16x-392=424
16x=424+392
16x=816
x=816/16
x=51   
Resposta certa, letra "A"


3) (PUC-RS) Na seqüencia definida por , a soma dos 10 primeiros termos é igual a

    (A)

    (B)

    (C) 53
    (D) 265
    (E) 53

- O exercício dá a fórmula do termo geral de uma PA e pede S10. Utilizaremos a fórmula da soma, mas para usá-la devemos saber a1 e a10. Estes valores iremos calcular com a fórmula dada pelo exercício:

- Agora é só aplicar a fórmula da soma:

Resposta certa, letra "B".


4) (UFRGS) Os números que exprimem o lado, a altura e a área de um triângulo equilátero estão em PA, nessa ordem. A altura desse triângulo mede

    (A)

    (B)

    (C)

    (D)

    (E)

- Para resolver este exercício devemos ter um conhecimento de Geometria Plana. Este capítulo iremos estudar mais adiante. Mas vamos chamar o lado do triângulo de "L", a fórmula da altura de um triângulo equilátero é e a área de um triângulo equilátero é. Então, pelo que diz o problema, temos a seguinte PA:

- O problema pede o valor da altura, e para isso devemos antes achar o valor de L. Vamos utilizar a propriedade fundamental de uma PA:

Chegamos em uma equação incompleta do segundo grau. Para facilitar os cálculos, coloquei o L em evidência.

Agora é só calcular as raízes, no caso são e . Como não podemos ter o valor de L como sendo ZERO, então vale só a segunda resposta.

O exercício pede a altura do triângulo, vamos aplicar a fórmula da altura (h):

Nas resposta o problema coloca o 2 em evidência, assim sendo:

Resposta certa, letra "C".


5) (UFRGS) A PA tem razão . A razão da progressão definida por é

    (A)

    (B)

    (C)

    (D)

    (E)

- Para calcularmos a razão da segunda PA devemos saber no mínimo dois termos em sequência desta PA. Vamos então calcular o primeiro e o segundo.

bn=a5n     então
b1=a5·1
b1=a5
bn=a5n     então
b2=a5·2
b2=a10

Agora que já sabemos que b1=a5 e b2=a10 vamos ver quanto vale a5 e a10 :

a5=a1+(5-1)r
a5=a1+4r  
então
b1=a1+4r
a10=a1+(10-1)r
a10=a1+9r  
então
b2=a1+9r

Para calcularmos a razão da PA "b" (vamos chamar de R maiúsculo) é só calcularmos b2-b1 :
b2-b1=a1+9r-(a1+4r)
b2-b1=5r
R=5r  
Resposta certa, letra "C".


6) (ULBRA) O número de termos de uma PA, cuja razão é 9, o primeiro termo é 4 e o último 58, é

    (A) 3
    (B) 4
    (C) 5
    (D) 6
    (E) 7

- Informações:
    r=9    a1=4    an=58     n=?

- Vamos somente aplicar a fórmula do termo geral:
    an=a1+(n-1)r
    58=4+(n-1)9
    58-4=9n-9
    54+9=9n
    63=9n
    n=63/9
    n=7
    Resposta certa, letra "E".


7) A soma dos 40 primeiros números naturais é igual a

    (A) 400
    (B) 410
    (C) 670
    (D) 780
    (E) 800

- Podemos olhar para os números naturais como uma PA com a1=0 e r=1.
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...}

- Aqui tem um pega ratão! Para usar a fórmula da soma devemos saber que é o a40. Você pode achar que é o 40, mas não. Vamos calcular!
    a40=a1+(40-1)·r
    a40=0+(39)·1
    a40=0+39
    a40=39

- Viu! Agora vamos aplicar a fórmula da soma.
    S40=(0+39)·40/2
    S40=39·20
    S40=780  
Resposta certa, letra "D".


8) (UFCE) Um atleta corre sempre 400 metros a mais que no dia anterior. Ao final de 11 dias ele percorre um total de 35200 metros. O número de metros que ele correu no último dia foi igual a

    (A) 5100
    (B) 5200
    (C) 5300
    (D) 5400
    (E) 5500

- Informações:
    S11=35200    r=400

- Neste exercício iremos usar a fórmula da soma dos termos, mas para isso devemos calcular o valor de an em função de a1 e r. Calma lá, veja só:
    an=a1+(n-1)r
    a11=a1+(11-1)r
    a11=a1+10r   
sabemos que a razão é 400
    a11=a1+10·400
    a11=a1+4000

- Agora sim vamos colocar na fórmula da soma:

- Calculamos o valor de a1, agora é só substituir na fórmula de a11 para achar seu valor (pois é isso que o problema quer, o valor do último dia):
    a11=a1+4000
    a11=1200+4000
    a11=5200   
Resposta certa, letra "B".


9) (PUC) A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada por Sn=3n2+5n. a razão dessa PA é:

    (A) 7
    (B) 6
    (C) 9
    (D) 8
    (E) 10

- Esta questão é clássica! Tem um pega-ratão tenebroso. O problema dá a fórmula geral da soma dos n primeiros termos de uma PA. Vamos substituir valores e achar os dois primeiros termos para calcularmos a razão (que é o que o problema pede).

- Se substituirmos o "n" por 1 teremos S1 que equivale dizer "a soma dos 1 primeiros termos", ou seja, o próprio primeiro termo.
    Sn=3n2+5n
    S1=3·12+5·1
    S1=3+5
    a1=8

- Agora que tem o pega-ratão! Se substituirmo "n" por 2 teremos a soma dos 2 primeiros termos, ou seja, a1+a2:
    S2=3·22+5·2
    S2=3·4+10
    S2=12+10
    S2=22

- Lembre-se que este é o valor de a1+a2 portanto:
    a1+a2=22
    8+a2=22
    a2=22-8
    a2=14

- Para achar o valor da razão, fazemos a2-a1:
    r=a2-a1
    r=14-8
    r=6   
Resposta certa, letra "B".


10) (UFRGS) Para p e q inteiros positivos, a soma dos cem primeiros múltiplos de p é A e a soma dos cem primeiros múltiplos de q é B. O valor de A+B é

    (A) 200pq
    (B) 200(p + q)
    (C) 500(p + q)
    (D) 5050(p + q)
    (E) 5050pq

- Sabemos que os múltiplos de um número "n" seguem conforme uma PA de razão r=n e a1=n. Exemplo, os múltiplos de 5:

{5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50...}

- Então para os múltiplos de "p" temos uma PA com r=p e a1=p. O problema diz que "A" é a soma dos 100 primeiro múltiplos de "p". Podemos aplicar a fórmula da soma dos termos de uma PA, mas para isso devemos saber o valor de a100, vamos calculá-lo aplicando a fórmula do termo geral:
    a100=a1+(100-1)r
    a100=p+99·p
    a100=100p

- Agora podemos calcula a soma dos cem primeiros, ou seja, o valor de "A".
    S100=(a1+a100)·100/2
    S100=(p+100p)·50
    S100=(101p)·50
   p=5050p

- Com este mesmo raciocínio vamos calcular "B".
    a100=100q
    S100=(q+100q)·50
    S100=(101q)·50
    S100=5050q

- Concluímos que o valor de A+B é 5050p+5050q, colocando o 5050 em evidência, temos:
5050(p+q) resposta certa, letra "D".


11) (PUC) A quantidade de meios aritméticos que se devem interpolar entre -a e 20a, a fim de se obter uma PA de razão 7, é

    (A) 3a-2
    (B) 3a-1
    (C) 3a
    (D) 3a+1
    (E) 3a+2

- Informações:
    a1=-a    an=20a     r=7

- Vamos utilizar a fórmula do termo geral:

Agora não caia no pega-ratão, acabamos de calcular o número de termos que deve ter a progressão. O exercício pede quantos devem ser INSERIDOS entre -a e 20a, portanto devemos diminuir duas unidades:

3a+1-2
3a-1
    Resposta certa letra "B".


GABARITO
01-C 04-C 07-D 10-D
02-A 05-C 08-B 11-B
03-B 06-E 09-B  
 


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