Progressões Aritméticas - Soma dos "n" Primeiros Termos

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Em um vestibular, pode também ser pedido que você calcule a soma dos termos de uma PA. Pode ser pedido a soma dos 25 primeiros termos, ou dos 200 primeiros termos.

Estas somas são simbolizadas por S₂₅ (soma dos 25 primeiros termos), por S₂₀₀ (soma dos 200 primeiros termos) ou por S_n (soma dos "n" primeiros termos). Vamos ver um exemplo:

(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19)

Esta progressão possui 10 termos, com a₁=1, a₁₀=19 e r=2. Se quiséssemos saber a soma dos 10 primeiros termos desta PA, poderíamos calcular manualmente, ou seja, 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100. Mas, se fosse pedido a soma dos 145 primeiros termos?? BAH, manualmente iria demorar muito.

Vamos ver se existe uma maneira mais prática.

Observe quanto vale a soma do primeiro com o último termo desta PA:

somapa01.gif (1817 bytes)

Agora, veja a soma do segundo com o penúltimo:

somapa02.gif (2171 bytes)

E a soma do terceiro com o antepenúltimo, do quarto com o antes do antepenúltimo ...

somapa03.gif (3372 bytes)

Note, que a soma 20 apareceu exatamente 5 vezes. Ao invés de somar termo a termo, poderíamos somar 5 vezes o 20, ou seja, 5x20=100 (mesmo resultado).

Agora, pense!!! Por que que apareceu cinco vezes a soma = 20?????

Isto mesmo, pois tínhamos 10 termos, e como pegamos eles de 2 em 2, é óbvio que a soma iria aparecer um número de vezes igual a metade do número de termos!

E agora, se fosse uma progressão com 100 elementos? Deveríamos proceder da mesma maneira!
A soma do primeiro com o último iria se repetir por 50 vezes (metade de 100), portanto, matematicamente falando teríamos:

S₁₀₀=(a₁+a₁₀₀).50

Para concluir. Se tivéssemos que calcular a soma dos elementos de uma PA com "n" termos? A soma do primeiro com o último iria se repetir por n/2 vezes. Ou seja, podemos escrever:

${s_n=(a_1+a_n) \cdot \frac{n}{2}}$

Dê uma olhada nos exercícios abaixo e veja como é fácil:

1) O primeiro termo de uma PA é 100 e o trigésimo é 187. Qual a soma dos trinta primeiros termos?

- Informações do problema:
a₁=100 a₃₀=187 n=30 S₃₀=?

- Aplicando a fórmula da soma, temos:

                ${S_{30}=(100+187)\cdot \frac{30}{2}}$
                S₃₀ = (287) . 15
                S₃₀ = 4305

2) Sabendo que o primeiro termo de uma PA vale 21 e a razão é 7, calcule a soma dos 12 primeiros termos desta PA:

- Informações do problema:
a₁=21 r=7 S₁₂=?

        - Colocando na fórmula da soma, vemos que está faltando um dado. Qual o valor de a₁₂? Então antes de tudo devemos calcular o valor de a₁₂.
                a₁₂=a₁+(12-1)7
                a₁₂=21+77
                a₁₂=98

        - Agora sim, podemos colocar na fórmula da soma:
                S₁₂=(a₁+a₁₂)6
                S₁₂=(21+98)6
                S₁₂=119*6
                S₁₂= 714

3) A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada por S_n=n²+2n. O valor do 13^o termo desta PA é:

    (A) 195
    (B) 190
    (C) 27
    (D) 26
    (E) 25

- Este tipo de questão é clássica, pois tem um pega ratão horrível. Então, vamos esmigalhar ao máximo. Te liga só!
- Para calcularmos o 13^o termo desta PA, devemos saber o valor do primeiro termo (a₁) e o valor da razão, para isso vamos entender o que ele quis dizer com a fórmula dada.

        - À primeira vista você pode achar que se substituirmos "n" por 13 teremos o valor do 13^o termo. Aí está o pega ratão, substitua e veja a resposta da letra "A" (pega ratão).
        - O que devemos fazer é substituir primeiro "n" por 1, isso dá
            S₁=1²+2.(1)
            S₁=3
        - Como S₁ significa a soma de todos os termos até a₁, ou seja, como não tem nenhum antes de a₁ é o próprio valor dele (a₁=3)
        - Se substituirmos "n" por 2, temos:
            S₂=2²+2.(2)
            S₂=8

        - Agora tem que se ligar. S₂ significa a soma de todos os termos até a₂, então é igual à a₁+a₂. Como já sabemos o valor de a₁, logo:
            S₂=a₁+a₂=8
            3+a₂=8
            a₂=5

Se a₁=3 e a₂=5 a razão só pode ser 2. Agora podemos achar o 13^o termo, é só substituir na fórmula do termo geral:

a_n=a₁+(n-1)r
a₁₃=3+(13-1)2
a₁₃=3+24
a₁₃=27 Resposta certa letra "C"

Existe uma curiosidade sobre uma soma especial: a soma dos quadrados dos "n" primeiros números naturais.

Clique aqui se estiver curioso.

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1 • Introdução 2 • Termo Geral 3 • Exercícios Resolvidos 4 • Soma de n termos 5 • Interpolação de Meios 6 • Exercícios para Fixação

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3 • Exercícios Resolvidos
4 • Soma de n termos
5 • Interpolação de Meios
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