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As resoluções mostradas aqui não serão explicadas minuciosamente. Mostraremos o caminho e deixaremos lacunas que devem ser preenchidas pelo aluno, aprimorando o seu estudo. Boa Sorte!

(1) (ITA - 1991) Considere as afirmações:

I - A equação 3x⁴ - 10x³ + 10x - 3 = 0 só admite raízes reais.
II - Toda equação recíproca admite um número par de raízes.
III - As raízes da equação x³ + 4x² - 4x - 16 = 0 são exatamente o dobro das raízes de x³ + 2x² - x - 2 = 0.

Então

          (A) Apenas I é verdadeira.
          (B) Apenas II é falsa.
          (C) Apenas III é verdadeira.
          (D) Todas são verdadeiras.
          (E) n.d.a.

I ) Por ser uma equação recíproca de segunda espécie com grau PAR, com certeza 1 e -1 serão raízes. Efetuando Briot-Ruffini para reduzir o grau, utilizando a raiz "1", teremos:

Aplicando Briot-Ruffini novamente, no quociente, agora com a raiz -1, teremos:

Portanto, as raízes do polinômio em questão são 1, -1 e as duas da equação 3x² - 10x + 3 = 0 , que são reais, pois $formdata=\Delta=(-10)^2-4\cdot+3\cdot+3=64>0$ . VERDADEIRA

II) FALSA, pois 6x³ - 11x² - 11x + 6 = 0, por exemplo, é recíproca e, por ter grau ímpar, possui um número ímpar de raízes.

III) VERDADEIRA, podemos provar isso vendo a soma e o produto das raízes.

(2) (ITA - 1993) - Sabendo-se que a equação de coeficientes reais, x⁶ - (a+b+c)x⁵ + 6x⁴ - 3cx² + 6x - 1 = 0 é uma equação recíproca de segunda classe, então o número de raízes reais desta equação é:

          (A) 0
          (B) 2
          (C) 3
          (D) 4
          (E) 6

(3) (ITA - 1997) Seja S o conjunto de todas as raízes da equação
2x⁶ - 4x⁵ + 4x - 2 = 0. Sobre os elementos de S podemos afirmar que:

          (A) Todos são números reais.
          (B) 4 são números reais positivos.
          (C) 4 são números reais.
          (D) 3 são números reais positivos e 2 não são reais.
          (E) 3 são números reais negativos.

Por ser uma equação recíproca de segunda espécie e de grau PAR, com certeza 1 e -1 serão raízes. Vamos aplicar o dispositivo prático de Briot-Ruffini para diminuir o grau duas vezes, primeiramente com a raiz "1":

Agora, pegamos o qüociente acima e aplicamos novamente com a raiz "-1":

Portanto, as raízes da equação da questão são 1, -1 e as quatro do qüociente acima, 2x⁴ - 4x³ + 2x² - 4x + 2 = 0 que descobrimos neste último Briot-Ruffini. Resolveremos agora a equação recíproca de quarto grau:

2x⁴ - 4x³ + 2x² - 4x + 2 = 0

Dividindo toda equação por x²:

2x² - 4x + 2 - 4/x + 2/x² = 0

Arrumando as parcelas:

2x² + 2/x² - 4x - 4/x + 2 = 0

Colocando em evidência o que der:

2(x² + 1/x²) - 4(x + 1/x) + 2 = 0

Substituindo (1) x + 1/x = t, e conseqüentemente x² + 1/x² por t² - 2, teremos:

2(t² - 2) - 4(t) + 2 = 0
2t² - 4 - 4t + 2 = 0
2t² - 4t - 2 = 0

Aplicando Bhaskara, teremos:

$formdata=t'=1+sqrt+2$

$formdata=t''=1-sqrt+2$

Desenvolvendo (1):

(1) $formdata=x+\frac{1}{x}=t$

$formdata=x^2-tx+1=0$

Esta equação só terá raízes reais se $formdata=\Delta\geq+0$ . Calculando $formdata=\Delta$ , teremos:

$formdata=\Delta=t^2-4\geq+0$
(2) $formdata=t\leq+-2$ ou $formdata=t\geq+2$ (3)

Os valores encontrados por nós, são:

$formdata=t'=1+\sqrt{2}\approx+2,4$

$formdata=t'=1-\sqrt{2}\approx+0,6$

Ou seja, t' (por ser maior que 2, satisfazendo (3)) irá nos retornar duas raízes reais, e t'' (por não satisfazer nem (2) nem (3)) duas raízes não reais. Como já sabemos duas raízes reais (1 e -1), a resposta C fecha direitinho com a situação.

(4) (ITA - 1998) Seja a um número real tal que o polinômio
p(x) = x⁶ + 2x⁵ + ax⁴ - ax² - 2x - 1 admite apenas raízes reais. Então:

          (A) $formdata=a\in[2,\infty[$
          (B) $formdata=a\in[-1,1]$
          (C) $formdata=a\in]-\infty,-7]$
          (D) $formdata=a\in[-2,-1[$
          (E) $formdata=a\in]1,2[$

Por ser uma equação recíproca de segunda espécie e de grau PAR, com certeza 1 e -1 serão raízes. Vamos aplicar o dispositivo prático de Briot-Ruffini e abaixar o grau duas vezes. Primeiramente com a raiz "1":

Novamente, agora com a raiz "-1":

Agora, as próximas raízes dependem do valor de "a". Serão as raízes da equação x⁴ + 2x³ + (1+a)x² + 2x + 1 = 0. É uma equação recíproca do quarto grau, vamos resolvê-la utilizando o método usual. Dividindo por x²:

$formdata=x^2+2x+(1+a)+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}=0$

Arrumando as parcelas:

$formdata=x^2+\frac{1}{x^2}+2x+\frac{2}{x}+(1+a)=0$

Colocando em evidência:

$formdata=x^2+\frac{1}{x^2}+2\cdot\left(x+\frac{1}{x}\right)+(1+a)=0$

Substituindo (1) $formdata=x+\frac{1}{x}=t$ , e conseqüentemente $formdata=x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2$ , teremos:

$formdata=t^2-2+2t+(1+a)=0$

$formdata=t^2+2t-1+a=0$ (2)

Aplicando Bhaskara em (2), teremos:

(3)	$formdata=t'=-1+\sqrt{2-a}$
(4)	$formdata=t''=-1-\sqrt{2-a}$

É óbvio que "t" deve ser um valor real, para que em (1) achemos valores de x reais. Portanto, $formdata=(2-a)\geq+0$ ou $formdata=a\leq+2$ (5). Mas, de (1), tiramos que (6) $formdata=t\leq+-2$ ou $formdata=t\geq+2$ (7)

Para achar o intervalo verdadeiro para a resposta, devemos utilizar (3) com (6), (3) com (7), (4) com (6) e (4) com (7). Vamos ver (3) com (7):

$formdata=-1+\sqrt{2-a}\geq+2$

$formdata=\sqrt{2-a}\geq+2+1$

$formdata=\sqrt{2-a}\geq+3$

Como temos os dois lados da equação, com certeza, positivos, podemos elevar os dois lados da inequação ao quadrado:

$formdata=\left(\sqrt{2-a}\right)^2\geq(3)^2$

$formdata=2-a\geq+9$

$formdata=-a\geq+9-2$

$formdata=a\leq+-7$

Eliminando todas alternativas, exceto a "C". Deixo o restante da resolução para você fazer :-)

(5) (ITA - 1999) A equação polinomial p(x) = 0 de coeficientes reais e grau 6 é recíproca de 2^a espécie e admite i como raiz. Se $formdata=p(2)=-\frac{105}{8}$ e $formdata=p(-2)=\frac{255}{8}$ , então a soma de todas as raízes de p(x) é igual a:

          (A) 10
          (B) 8
          (C) 6
          (D) 2
          (E) 1

Sendo uma equação recíproca de segunda espécie com grau par (6^o grau) com certeza terá as raízes 1 e -1.

O exercício nos diz que "i" é uma raiz, portanto, seu conjugado "-i" também será raiz da equação.

Por ser um polinômio recíproco, as duas raízes que falta descobrir são recíprocas, ou seja, uma será $formdata=r$ e outra será $formdata=\frac{1}{r}$ . Fatorando o polinômio com as informações que temos, teremos:

$formdata=P(x)=a\cdot(x-1)\cdot(x+1)\cdot(x-i)\cdot(x+i)\cdot(x-r)\cdot\left(x-\frac{1}{r}\right)$

Efetuando alguns cálculos, teremos:

$formdata=P(x)=a\cdot(x^2-1)\cdot(x^2+1)\cdot[x^2-\left(r+\frac{1}{r}\right)\cdot+x++1]$

Mais um pouquinho:

$formdata=P(x)=a\cdot(x^4-1)\cdot[x^2-\left(r+\frac{1}{r}\right)\cdot+x++1]$

Substituindo as informações dadas, $formdata=p(2)=-\frac{105}{8}$ e $formdata=p(-2)=\frac{255}{8}$ , teremos:

$formdata=-\frac{105}{8}=a\cdot(2^4-1)\cdot[2^2-\left(r+\frac{1}{r}\right)\cdot+2+1$

$formdata=\frac{255}{8}=a\cdot[(-2)^4-1] \cdot[(-2)^2-\left(r+\frac{1}{r}\right)\cdot+(-2)+1]$

Com estas duas equações (com incógnitas "a" e "x"), temos um sistema. Resolvendo encontraremos o valor de $formdata=r$ e, consequentemente, o valor pedido (que é $formdata=r+\frac{1}{r}$ ).

(6) (ITA - 2003) Das afirmações abaixo sobre a equação z⁴ + z³ + z² + z + 1 = 0 e suas soluções no plano complexo:

     I - A equação possui pelo menos um par de raízes reais.
     II - A equação possui duas raízes de módulo 1, uma raiz de módulo menor que 1 e uma raiz de módulo maior que 1.
     III - Se $formdata=n\in+N*$ e "r" é uma raiz qualquer desta equação, então $formdata=\sum_1^n\left|\frac{r}{3}\right|^k<\frac{1}{2}$ .

é (são) verdadeira(s):

          (A) nenhuma
          (B) apenas I.
          (C) apenas II.
          (D) apenas III.
          (E) apenas I e III.

GABARITO
01 - B	02 -	03 - C	04 - C	05 - C	06 - D

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1 • Equações Recíprocas 2 • Recíprocas 1° Espécie 3 • Recíprocas 2° Espécie 4 • Resumão 5 • Resolução de Recíprocas 6 • Exercícios

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