Logaritmos - Exercícios Propriedades Operatórias

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1) (UCS) O valor de $formdata=(\sqrt+2)^{\log_{sqrt+2}sqrt+3}$ é

    (A) $formdata=sqrt+3$
    (B) $formdata=sqrt+2$
    (C) $formdata=sqrt+6$
    (D) $formdata=2$
    (E) $formdata=2^3$

Veja que esta é uma aplicação direta da 4° conseqüência da definição de logaritmos podemos cortar os termos $formdata=sqrt+2$ :

= $formdata=sqrt+3$

Resposta letra "A"

2) (UFRGS) Se $formdata=\log(2)=a$ e $formdata=\log(3)=a+b$ , então $formdata=\log\sqrt[3]{54}$ é

(A) $formdata=4a+b$
(B) $formdata=12a+3b$

(C) $formdata=\frac{a+4b}{3}$

(D) $formdata=\frac{4a+3b}{3}$

(E) $formdata=\frac{4a+b}{3}$

Este tipo de questão começamos fatorando o termo que estiver no logaritmando:

$formdata=\log\sqrt[3]{54}=\log\sqrt[3]{3^3\cdot+2}$

Agora podemos aplicar as propriedades de radiciação :

$formdata=\log\sqrt[3]{3^3\cdot+2}=\log\left(\sqrt[3]{3^3}\cdot\sqrt[3]{2}\right)=\log\left(3\cdot\sqrt[3]2\right)$

Então as propriedades operatórias dos logaritmos:

$formdata=\log\left(3\cdot\sqrt[3]2\right)=\log{3}+\log\sqrt[3]2=\log{3}+\frac{1}{3}\cdot\log{2}$

Agora é só substituir os valores dados no enunciado:

$formdata=a+b+\frac{1}{3}\cdot+a=\frac{4a+3b}{3}$

Resposta certa, letra "D".

3) (PUCRS) Se $formdata=\log(a)=4$ e $formdata=\log(b)=1$ , então $formdata=\log\sqrt[3]{\frac{a^3}{b}}$ é igual a

(A) $formdata=\frac{1}{5}$

(B) $formdata=\frac{11}{3}$

Agora a questão é ao contrário. Começamos aplicando as propriedades operatórias no logaritmo pedido:

$formdata=\log\sqrt[3]{\frac{a^3}{b}}=\frac{1}{3}\cdot\log\left(\frac{a^3}{b}\right)=\frac{1}{3}\cdot\left(\log{(a^3)}-\log{b}\right)=\frac{1}{3}\cdot\left(3\cdot\log{a}-\log{b}\right)$

Agora sim substituimos os valores dados no enunciado na expressão acima:

$formdata=\frac{1}{3}\cdot\left(3\cdot4-1\right)=\frac{11}{3}$

Resposta correta, letra "B".

4) (PUCRS) A solução da equação $formdata=8^{\log_8x}\cdot8^{\log_84x}=1$ pertence ao intervalo

(A) $formdata=[-2,0)$
(B) $formdata=[-\frac{1}{2},0)$

(C) $formdata=[0,\frac{1}{2})$

(D) $formdata=[\frac{1}{4},\frac{1}{2}]$

(E) $formdata=[2,4]$

Começamos aplicando a 4° conseqüência da definição de logaritmos:

$formdata=x\cdot+4x=1$

$formdata=4x^2=1$

$formdata=x^2=\frac{1}{4}$

$formdata=x=\pm\frac{1}{2}$

Veja que x é logaritmando na equação do enunciado. Respeitando as condições de existência dos logaritmos, não podemos ter logaritmando negativo, ou seja, descartamos o valor $formdata=x=-\frac{1}{2}$ .

Resposta final $formdata=x=\frac{1}{2}$ , ou seja, está no intervalo da alternativa "D".

5) Dado $formdata=\log+5=P$ , calcule o valor de $formdata=\log{200}$ em função de P

(A) $formdata=5P$

(B) $formdata=200P$

(C) $formdata=P-3$

(D) $formdata=3-P$

(E) $formdata=5-P$

Foi dado apenas uma informação, o valor de $formdata=\log+5$ .

Portanto, devemos moldar os valores no logaritmo que está sendo pedido em função do número 5. Veja só, vamos fatorar o 200:

$formdata=\log{200}=\log{(2^3\cdot+5^2)}$

Aplicar as propriedades dos logaritmos:

$formdata=\log{2^3}+\log{5^2}\\3\cdot\log{2}+2\cdot\log{5}$

Só que o problema agora é descobrir o valor de $formdata=\log+2$ . Aí que vem a mãnha. Veja que podemos trocar o valor 2 como sendo $formdata=\frac{10}{5}$