Funções 2 ° Grau - Vértice e Imagem
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Vamos nos situar nos estudos. O que é vértice de uma parábola?
            - É o ponto em que a parábola atinge seu valor máximo ou mínimo.

Como assim?

Veja os exemplos abaixo:

vertice1.gif (2303 bytes)

vertice2.gif (2357 bytes)

O vértice de todas as parábolas tem uma característica própria, ele sempre se encontra "equidistante" de ambas as raízes, ou seja, a coordenada "x" do vértice fica exatamente no meio das coordenadas das duas raízes. Trocando em miúdos, a coordenada "x" do vértice é a média aritmética das coordenadas "x" das raízes, isto é, a soma das duas dividido por dois. Vamos chamá-lo de Xv ("x" do vértice):

vertice3.gif (1239 bytes)

Esta é a fórmula para encontrarmos o Xv. Se você não conseguir se lembrar na hora, faça a dedução como está aí em cima. É bem fácil!

vertice4.gif (1529 bytes)

Agora que já sabemos o Xv, devemos descobrir o Yv ("y" do vértice). Este valor podemos conseguir substituindo o "x" da função pelo "Xv", pois com isso estaremos calculando qual o valor de Y para o Xv, que é justamente o Yv ou f(Xv). A equação geral de uma função do segundo grau é f(x)=ax2+bx+c. Então vamos substituir todos "x" pelo valor de Xv da fórmula acima:

vertice5.gif (2563 bytes)

Veja que na última igualdade temos como denominador -(b2-4ac) e isso é justamente igual à -delta.gif (860 bytes), portanto a fórmula final para o cálculo de Yv, também chamado de f(Xv) é:

yvertice.gif (1540 bytes)

IMAGEM

Agora que já vimos como calcular o Yv, podemos calcular a imagem de qualquer função do segundo grau.
Imagem, como vocês se lembram, é o conjunto de todos os valores do eixo Y em que a função existe.

O QUÊ ?????

Hehehe, já explico.

Imaginem agora uma prensa "esmagando" toda função em cima do eixo Y, como na animação abaixo:

A imagem da função será o conjunto de todos valores de Y que conseguirmos esmagar a função. No exemplo acima, o conjunto imagem é de 1 para cima, ou seja, é o intervalo [1, +).
Para calcular a imagem de qualquer função, temos que analisar somente duas coisas: a concavidade da parábola (sinal do coeficiente "a") e o valor do Yv.
Se o "a" for positivo (a>0) a concavidade é para cima, então a imagem é do Yv até "mais" infinito [Yv,+);
se o "a" for negativo (a<0) a concavidade é para baixo, então a imagem é de "menos" infinito até o Yv ,Yv]. Veja os exemplos abaixo:

f(x) = x2 - 15x +56

a>0 e vertice5.gif (1560 bytes)

portanto, o conjunto imagem desta função é o intervalo

[-1/4,+)

f(x) = -2x2 + 12x - 16

a < 0 e vertice7.gif (1612 bytes)

portanto, o conjunto imagem desta função é o intervalo

(-, +4]

Siga os estudos agora com "análise de sinal". É só clicar na seta de avanço.

 

asdf

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