Funções 2 ° Grau - Vértice e Imagem
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Vamos nos situar nos estudos. O que � v�rtice de uma par�bola?
            - � o ponto em que a par�bola atinge seu valor m�ximo ou m�nimo.

Como assim?

Veja os exemplos abaixo:

vertice1.gif (2303 bytes)

vertice2.gif (2357 bytes)

O v�rtice de todas as par�bolas tem uma caracter�stica pr�pria, ele sempre se encontra "equidistante" de ambas as raízes, ou seja, a coordenada "x" do v�rtice fica exatamente no meio das coordenadas das duas raízes. Trocando em mi�dos, a coordenada "x" do v�rtice � a m�dia aritm�tica das coordenadas "x" das raízes, isto �, a soma das duas dividido por dois. Vamos cham�-lo de Xv ("x" do v�rtice):

vertice3.gif (1239 bytes)

Esta � a f�rmula para encontrarmos o Xv. Se voc� n�o conseguir se lembrar na hora, fa�a a dedu��o como est� a� em cima. � bem f�cil!

vertice4.gif (1529 bytes)

Agora que j� sabemos o Xv, devemos descobrir o Yv ("y" do v�rtice). Este valor podemos conseguir substituindo o "x" da fun��o pelo "Xv", pois com isso estaremos calculando qual o valor de Y para o Xv, que � justamente o Yv ou f(Xv). A equa��o geral de uma fun��o do segundo grau � f(x)=ax2+bx+c. Ent�o vamos substituir todos "x" pelo valor de Xv da f�rmula acima:

vertice5.gif (2563 bytes)

Veja que na �ltima igualdade temos como denominador -(b2-4ac) e isso � justamente igual � -delta.gif (860 bytes), portanto a f�rmula final para o c�lculo de Yv, tamb�m chamado de f(Xv) :

yvertice.gif (1540 bytes)

IMAGEM

Agora que j� vimos como calcular o Yv, podemos calcular a imagem de qualquer fun��o do segundo grau.
Imagem, como voc�s se lembram, � o conjunto de todos os valores do eixo Y em que a fun��o existe.

O QU� ?????

Hehehe, j� explico.

Imaginem agora uma prensa "esmagando" toda fun��o em cima do eixo Y, como na anima��o abaixo:

A imagem da fun��o ser� o conjunto de todos valores de Y que conseguirmos esmagar a fun��o. No exemplo acima, o conjunto imagem � de 1 para cima, ou seja, � o intervalo [1, +).
Para calcular a imagem de qualquer fun��o, temos que analisar somente duas coisas: a concavidade da par�bola (sinal do coeficiente "a") e o valor do Yv.
Se o "a" for positivo (a>0) a concavidade � para cima, ent�o a imagem � do Yv at� "mais" infinito [Yv,+);
se o "a" for negativo (a<0) a concavidade � para baixo, ent�o a imagem � de "menos" infinito at� o Yv ,Yv]. Veja os exemplos abaixo:

f(x) = x2 - 15x +56

a>0 e vertice5.gif (1560 bytes)

portanto, o conjunto imagem desta fun��o � o intervalo

[-1/4,+)

f(x) = -2x2 + 12x - 16

a < 0 e vertice7.gif (1612 bytes)

portanto, o conjunto imagem desta fun��o � o intervalo

(-, +4]

Siga os estudos agora com "an�lise de sinal". � s� clicar na seta de avan�o.

 

asdf

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