Funções 2 ° Grau - Fatoração

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Primeiro devemos ter em mente: o que é "FATOR"?

Se você não se lembra lá do primeiro grau, fator é cada parte de uma multiplicação!! Veja a imagem abaixo:

fator.gif (1575 bytes)

Então, o que devemos fazer em uma "fatoração de uma função quadrática" é achar quais os fatores desta função, ou seja, achar alguma "conta de multiplicação" que resulte na função desejada.

Veja o exemplo abaixo:

A função $formdata=f(x)=x^2-7x+10$ fatorada fica $formdata=(x-5)\cdot(x-2)$ , então seus fatores são $formdata=(x-5)$ e $formdata=(x-2)$ .

Para verificar se está correto, vamos efetuar a multiplicação:

$formdata==x^2-2x-5x+10$

$formdata=x^2-7x+10$

Veja que, ao efetuarmos a multiplicação, voltamos à função inicial.

Agora, como devemos fazer para achar estes fatores?

A regra prática diz o seguinte: sendo "r₁" e "r₂" as raízes da função que queremos fatorar, simplesmente colocamos na fórmula:

$formdata=\Large+a\cdot(x-r_1)\cdot(x-r_2)$

Onde "a" é o coeficiente de x² na lei da função, e "r₁" e "r₂" são as raízes da função. Vejamos uns exemplos:

f(x)= 2x² - 6x - 20	Aplicando Bhaskara achamos as raízes 5 e -2, e o valor de "a" é 2 (a=2). Então, fatorando esta função, temos: $formdata=2\cdot(x-5)\cdot(x+2)$ Atenção para os sinais! Como a fórmula é $formdata=a\cdot(x-r_1)\cdot(x-r_2)$ , então o MENOS da fórmula com o MENOS da raiz fica MAIS.
f(x) = 3x² + 24x + 36	raízes são -6 e -2, e a=3. Portanto, a fatoração desta função fica: $formdata=3\cdot(x+6)\cdot(x+2)$
f(x) = x² - 4	raízes são 2 e -2, e a=1 Fatoração: $formdata=(x-2)\cdot(x+2)$
f(x) = x² + 12x	raízes: 0 e -12, a=1 Fatoração: $formdata=(x-0)\cdot(x+12)=x\cdot(x+12)$
f(x) = 4x² - 12x + 9	raízes: $formdata=\frac{3}{2}$ e $formdata=\frac{3}{2}$ , a=4 Fatoração: $formdata=4\cdot\left(x-\frac{3}{2}\right)\cdot\left(x-\frac{3}{2}\right)$ ou $formdata=4\cdot\left(x-\frac{3}{2}\right)^2$

Como já vimos anteriormente, uma função quadrática sempre terá duas raízes, portanto sempre terá dois fatores (mais o "a", que pode ser 1, mas nunca 0).

Fatorando uma função, podemos ver com mais clareza o porquê das raízes serem os "zeros" das funções.

Veja nesta função fatorada: f(x)=(x-2)(x+2). Os "zeros" (ou raízes da função) são 2 e -2, pois se colocarmos 2 no lugar de "x" no primeiro fator, este fator será 2-2, que é zero, e qualquer coisa "vezes" zero resulta em zero.

A função toda é zerada, e acontece a mesma coisa se colocarmos -2 no segundo fator.

Este tipo de situação pode ser pedido ao contrário também. Ou seja, ao invés de pedir para fatorar uma função, pode ser pedido qual a função que possua determinada raiz.

Veja os dois exemplos abaixo:

Qual a função que possui apenas 3 e -4 como raízes?

- Devemos utilizar diretamente a fórmula da fatoração $formdata=a\cdot(x-r_1)\cdot(x-r_2)$ , efetuamos a multiplicação e está pronto.

Como não é pedido um valor específico para "a", podemos utilizar a=1.

$formdata=(x-3)\cdot(x+4)=x^2+4x-3x-12$

$formdata=f(x)=x^2+x-12$

Esta é a função pedida.

Qual a função que possui possui as raízes -4 e -2 e passa pelo ponto (2, 48)?

Usando a fatoração temos: $formdata=f(x)=a\cdot(x+4)\cdo(x+2)$

Agora devemos encontrar o valor de "a", para isso utilizaremos o ponto dado no enunciado.

Se esta função passa pelo ponto (2, 48), então se substituirmos x=2 e y=48, teremos uma igualdade (lembrando que y é a mesma coisa que f(x)).

$formdata=48=a\cdot(2+4)\cdo(2+2)$

$formdata=48=a\cdot+6\cdot+4$

$formdata=48=a\cdot+24$

$formdata=a=2$

Portanto, a função pedida é: $formdata=f(x)=2\cdot(x+4)\cdot(x+2)$

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