Funções 2 ° Grau - Fatoração
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Primeiro devemos ter em mente: o que é "FATOR"?

Se você não se lembra lá do primeiro grau, fator é cada parte de uma multiplicação!! Veja a imagem abaixo:

fator.gif (1575 bytes)

Então, o que devemos fazer em uma "fatoração de uma função quadrática" é achar quais os fatores desta função, ou seja, achar alguma "conta de multiplicação" que resulte na função desejada.

Veja o exemplo abaixo:

A função fatorada fica , então seus fatores são e .

Para verificar se está correto, vamos efetuar a multiplicação:

Veja que, ao efetuarmos a multiplicação, voltamos à função inicial.

Agora, como devemos fazer para achar estes fatores?

A regra prática diz o seguinte: sendo "r1" e "r2" as raízes da função que queremos fatorar, simplesmente colocamos na fórmula:

Onde "a" é o coeficiente de x2 na lei da função, e "r1" e "r2" são as raízes da função. Vejamos uns exemplos:

f(x)= 2x2 - 6x - 20

Aplicando Bhaskara achamos as raízes 5 e -2, e o valor de "a" é 2 (a=2). Então, fatorando esta função, temos:

Atenção para os sinais! Como a fórmula é , então o MENOS da fórmula com o MENOS da raiz fica MAIS.

f(x) = 3x2 + 24x + 36

raízes são -6 e -2, e a=3. Portanto, a fatoração desta função fica:

f(x) = x2 - 4

raízes são 2 e -2, e a=1

Fatoração:

f(x) = x2 + 12x

raízes: 0 e -12, a=1

Fatoração:

f(x) = 4x2 - 12x + 9

raízes: e , a=4

Fatoração: ou

Como já vimos anteriormente, uma função quadrática sempre terá duas raízes, portanto sempre terá dois fatores (mais o "a", que pode ser 1, mas nunca 0).

Fatorando uma função, podemos ver com mais clareza o porquê das raízes serem os "zeros" das funções.

Veja nesta função fatorada: f(x)=(x-2)(x+2). Os "zeros" (ou raízes da função) são 2 e -2, pois se colocarmos 2 no lugar de "x" no primeiro fator, este fator será 2-2, que é zero, e qualquer coisa "vezes" zero resulta em zero.

A função toda é zerada, e acontece a mesma coisa se colocarmos -2 no segundo fator.


Este tipo de situação pode ser pedido ao contrário também. Ou seja, ao invés de pedir para fatorar uma função, pode ser pedido qual a função que possua determinada raiz.

Veja os dois exemplos abaixo:

Qual a função que possui apenas 3 e -4 como raízes?

- Devemos utilizar diretamente a fórmula da fatoração , efetuamos a multiplicação e está pronto.

Como não é pedido um valor específico para "a", podemos utilizar a=1.

Esta é a função pedida.


Qual a função que possui possui as raízes -4 e -2 e passa pelo ponto (2, 48)?

Usando a fatoração temos:

Agora devemos encontrar o valor de "a", para isso utilizaremos o ponto dado no enunciado.

Se esta função passa pelo ponto (2, 48), então se substituirmos x=2 e y=48, teremos uma igualdade (lembrando que y é a mesma coisa que f(x)).

Portanto, a função pedida é:

 

asdf

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