Funções 2 ° Grau - Fatoração

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Primeiro devemos ter em mente: o que � "FATOR"?

Se voc� n�o se lembra l� do primeiro grau, fator � cada parte de uma multiplica��o!! Veja a imagem abaixo:

fator.gif (1575 bytes)

Ent�o, o que devemos fazer em uma "fatora��o de uma fun��o quadr�tica" � achar quais os fatores desta fun��o, ou seja, achar alguma "conta de multiplica��o" que resulte na fun��o desejada.

Veja o exemplo abaixo:

A fun��o $formdata=f(x)=x^2-7x+10$ fatorada fica $formdata=(x-5)\cdot(x-2)$ , ent�o seus fatores s�o $formdata=(x-5)$ e $formdata=(x-2)$ .

Para verificar se est� correto, vamos efetuar a multiplica��o:

$formdata==x^2-2x-5x+10$

$formdata=x^2-7x+10$

Veja que, ao efetuarmos a multiplica��o, voltamos � fun��o inicial.

Agora, como devemos fazer para achar estes fatores?

A regra pr�tica diz o seguinte: sendo "r₁" e "r₂" as raízes da função que queremos fatorar, simplesmente colocamos na f�rmula:

$formdata=\Large+a\cdot(x-r_1)\cdot(x-r_2)$

Onde "a" � o coeficiente de x² na lei da fun��o, e "r₁" e "r₂" s�o as raízes da fun��o. Vejamos uns exemplos:

f(x)= 2x² - 6x - 20	Aplicando Bhaskara achamos as raízes 5 e -2, e o valor de "a" � 2 (a=2). Ent�o, fatorando esta fun��o, temos: $formdata=2\cdot(x-5)\cdot(x+2)$ Aten��o para os sinais! Como a f�rmula � $formdata=a\cdot(x-r_1)\cdot(x-r_2)$ , ent�o o MENOS da f�rmula com o MENOS da raiz fica MAIS.
f(x) = 3x² + 24x + 36	raízes s�o -6 e -2, e a=3. Portanto, a fatora��o desta fun��o fica: $formdata=3\cdot(x+6)\cdot(x+2)$
f(x) = x² - 4	raízes s�o 2 e -2, e a=1 Fatora��o: $formdata=(x-2)\cdot(x+2)$
f(x) = x² + 12x	raízes: 0 e -12, a=1 Fatora��o: $formdata=(x-0)\cdot(x+12)=x\cdot(x+12)$
f(x) = 4x² - 12x + 9	raízes: $formdata=\frac{3}{2}$ e $formdata=\frac{3}{2}$ , a=4 Fatora��o: $formdata=4\cdot\left(x-\frac{3}{2}\right)\cdot\left(x-\frac{3}{2}\right)$ ou $formdata=4\cdot\left(x-\frac{3}{2}\right)^2$

Como j� vimos anteriormente, uma fun��o quadr�tica sempre ter� duas raízes, portanto sempre ter� dois fatores (mais o "a", que pode ser 1, mas nunca 0).

Fatorando uma fun��o, podemos ver com mais clareza o porqu� das raízes serem os "zeros" das fun��es.

Veja nesta fun��o fatorada: f(x)=(x-2)(x+2). Os "zeros" (ou raízes da fun��o) s�o 2 e -2, pois se colocarmos 2 no lugar de "x" no primeiro fator, este fator ser� 2-2, que � zero, e qualquer coisa "vezes" zero resulta em zero.

A fun��o toda � zerada, e acontece a mesma coisa se colocarmos -2 no segundo fator.

Este tipo de situação pode ser pedido ao contrário também. Ou seja, ao invés de pedir para fatorar uma função, pode ser pedido qual a função que possua determinada raiz.

Veja os dois exemplos abaixo:

Qual a função que possui apenas 3 e -4 como raízes?

- Devemos utilizar diretamente a fórmula da fatoração $formdata=a\cdot(x-r_1)\cdot(x-r_2)$ , efetuamos a multiplicação e está pronto.

Como não é pedido um valor específico para "a", podemos utilizar a=1.

$formdata=(x-3)\cdot(x+4)=x^2+4x-3x-12$

$formdata=f(x)=x^2+x-12$

Esta é a função pedida.

Qual a função que possui possui as raízes -4 e -2 e passa pelo ponto (2, 48)?

Usando a fatoração temos: $formdata=f(x)=a\cdot(x+4)\cdo(x+2)$

Agora devemos encontrar o valor de "a", para isso utilizaremos o ponto dado no enunciado.

Se esta função passa pelo ponto (2, 48), então se substituirmos x=2 e y=48, teremos uma igualdade (lembrando que y é a mesma coisa que f(x)).

$formdata=48=a\cdot(2+4)\cdo(2+2)$

$formdata=48=a\cdot+6\cdot+4$

$formdata=48=a\cdot+24$

$formdata=a=2$

Portanto, a função pedida é: $formdata=f(x)=2\cdot(x+4)\cdot(x+2)$

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