Funções - Imagem, Domínio e Contra-Domínio
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Para introduzir este tópico, vamos desenvolver um exemplo com base no conte�do j� estudado.

Com os conjuntos A={1, 4, 7} e B={1, 4, 6, 7, 8, 9, 12} criamos a função f: A —> B.definida por f(x) = x + 5 que tamb�m pode ser representada por y = x + 5. A representação, utilizando conjuntos, desta função, é:

conj5.gif (3061 bytes)

O conjunto A é o conjunto de saída e o B é o conjunto de chegada (ignore o conjunto azul por enquanto).

Domínio é um sinônimo para conjunto de saída, ou seja, para esta função o domínio é o próprio conjunto A = {1, 4, 7}.

Como, em uma fun��o, o conjunto de saída (dom�nio) deve ter todos os seus elementos relacionados (regra 2 das funções), não precisamos ter subdivisões para o domínio.

O dom�nio de uma fun��o tamb�m � chamado de campo de defini��o ou campo de exist�ncia da fun��o, e � representado pela letra "D".

O conjunto de chegada "B", também possui um sinônimo, � chamado de contradom�nio.

Note que podemos fazer uma subdivisão dentro do contradomínio (conjunto azul da figura acima). Podemos ter elementos do contradomínio que não são relacionados com algum elemento do Domínio e outros que são. Por isso, devemos levar em consideração esta subdivis�o (esta é at� mais importante do que o pr�prio contradom�nio).

Este subconjunto é chamado de conjunto imagem, e é composto por todos os elementos em que as flechas de relacionamento chegam.

O conjunto Imagem é representado por "Im", e cada ponto que a flecha chega � chamado de imagem.

*Obs.: Note que existe uma diferen�a entre imagem e conjunto imagem, o primeiro � um ponto em que a flecha de relacionamento toca, e o segundo � o conjunto de todos elementos que as flechas tocam.

No nosso exemplo, o dom�nio � D = {1, 4, 7}, o contra-domínio é = {1, 4, 6, 7, 8, 9, 12} e o conjunto imagem � Im = {6, 9, 12} e:

- a imagem do ponto x = 1 � y = 6, indicado por f(1) = 6;
- a imagem do ponto x = 4 � y = 9, indicado por f(4) = 9;
- a imagem do ponto x = 7 � y = 12, indicado por f(7) = 12.


Exemplo 1

Dada a função h: {-3, 0, 3, 8} —>{-2, 0, 15, 18, 27, 40} definida pela lei . Indique o Domínio, Contra-Domínio e Imagem desta função.

Resolução:

Domínio é o conjunto de saída: {-3, 0, 3, 8}

Contradomínio é o conjunto de chegada: {-2, 0, 15, 18, 27, 40}

Agora devemos ver a imagem de cada um dos elementos do domínio.

Para x=-3 temos
Para x=0 temos
Para x=3 temos
Para x=8 temos

Como encontramos todas as imagens, podemos agora formar o conjunto Imagem da função.

Im = {0, 18, 40}

*Note que, no enunciado, foi pedido apenas a imagem da função, ou seja, não foi dito conjunto imagem. Como não está se referindo a algum ponto (por exemplo, imagem de x=3), consideramos que foi pedido todo o conjunto imagem.


Exemplo 2

A fun��o agora � frr.gif (981 bytes) definida por y = 2x + B. Temos que calcular o valor de B, sabendo que f(1) = 3.

Resolu��o:

Agora o exercício muda um pouco de figura. Ele dá uma imagem, no caso f(1)=3, e pede pra acharmos o termo "B" da lei de formação.

Vamos ver...

sabendo que y=f(x), então

f(x) = 2x + B     e     f(1) = 2.(1) + B,     e também     f(1) = 3    então:

3 = 2.(1) + B        agora aplicando as propriedades das operações,
3 = 2 + B
3 - 2 = B
1 = B

Portanto, a lei de formação da função é y=2x+1 ou f(x)=2x+1.

avancar.gif (1126 bytes)

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