(UnB - 1988) Assinale as afirmações verdadeiras.

(a) Se sen x ^. cos x > 0 , então sen (π + 2x) < 0;

O enunciado nos diz sen x ^. cos x > 0, vamos pegar esta sentença e multiplicar por 2 dos dois lados da desigualdade:

2 ^. sen x ^. cos x > 2 ^. 0  ou
2 ^. sen x ^. cos x > 0

Note que do lado esquerdo da desigualdade temos o valor de sen(2x), substituindo:

sen (2x) > 0

Guarde que sen (2x) é um valor positivo. O exercício diz que se isso for verdade então sen (π + 2x) < 0 . Aplicando a fórmula do seno da soma de dois arcos, temos:

sen (π + 2x) < 0
sen(π) ^. cos(2x) + sen(2x) ^. cos(π) < 0

Lembrando que sen(π) = 0 e cos(π) = -1, temos

- sen(2x) < 0

Note que na primeira sentença descobrimos que sen (2x) é um valor positivo, portanto, com o sinal negativo na frente se torna negativo. Fazendo com que a afirmativa "A" seja VERDADEIRA.

AFIRMATIVA B - VERDADEIRA

(b) A cotg x existe se, e somente se, a cossec x existe;

Lembre que co-tangente é o inverso da tangente:

Portanto, como não existe divisão por zero, a co-tangente só não irá existir quando a tangente for 0, ou seja, não irá existir em 0^o, 180^o, 360^o,...

A co-secante de um arco é o inverso do seno deste arco:

Portanto, pelo mesmo motivo, não irá existir quando sen(x) for nulo, ou seja, não irá existir para x = 0^o, 180^o, 360^o,...

Tornando a afirmativa verdadeira.

AFIRMATIVA C - FALSA

(c) Se    0 < x < π     e    |sen x|=1/2,   então x = π/6;

Esta afirmativa é um pega-ratão, note que se substituirmos o valor de x que foi dado (x = π/6), poderemos dizer que está correta (pois |sen π/6|=1/2, realmente). O que está errado é dizer que só é verdade se x for π/6, pois também é verdade para 5π/6 e muitos outros.

AFIRMATIVA D - FALSA

(d) Sabendo que os gráficos abaixo representam as funções sen(x) e cos(x), então os pontos assinalados correpondem aos valores de x tais que tg (x) = 0

Os pontos assinalados na figura correspondem aos arcos em que o valor do seno é igual ao valor do co-seno. Estes arcos são 45^o, 225^o e todos os seus equivalentes. Ou seja:

tg(45^o) = 1
tg(225^o) = 1

Tornando a afirmativa falsa.

AFIRMATIVA E - FALSA

(e) Existe um único valor de x entre 0 e π/2 tal que sec²(x) - tg²(x) - 1 = 0

Utilizando a equivalência da trigonometria, que é válida para qualquer valor de "x":

sec²(x) = tg²(x) + 1

Vamos substituir na equação dada:

sec²(x) - tg²(x) - 1 = 0

tg²(x) + 1 - tg²(x) - 1 = 0

0=0

Com esta resposta concluímos que, para qualquer valor real de x, teremos a equação dada como sendo verdadeira. Portanto, a afirmativa é falsa, já que diz que existe apenas um valor de x.

AFIRMATIVA F - VERDADEIRA

( f ) O período da função cos(2x) é menor do que o período da função cos(x).

A função cos(2x) possui período π, e a função cos(x) possui período 2π.

AFIRMATIVA G - VERDADEIRA

(g) No triângulo retângulo de hipotenusa 1000 m e um cateto igual a 350 m, o ângulo α oposto a este cateto é menor do que 30^o.

Veja o desenho do triângulo abaixo:

Aplicando a fórmula do seno, temos:

Sendo um ângulo interno de um triângulo retângulo, só pode ser pertencente ao primeiro quadrante. O seno de 30^o vale 0,5, ou seja, se α possui um valor de seno menor do que 0,5 e está no primeiro quadrante, com certeza será menor do que 30^o.

AFIRMATIVA H - VERDADEIRA

(h) cos(π/2 rad) < cos (1 rad)

Sabemos que cos(π/2) = 0 e também sabemos que 1 radiano encontra-se no primeiro quadrante, portanto, é um valor positivo. O zero é menor do que qualquer valor positivo, por isso a afirmativa é correta.