Banco de Questões - Trigonometria

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( IME - 1993 ) Resolva a equação:

sen(x) - cos (x) = sen (2x) - cos (2x) - 1

Para resolver esta questão, devemos lembrar as fórmulas do seno e co-seno de arcos duplos (dobro de um arco) e a equivalência fundamental da trigonometria. Veja abaixo:

Seno de um arco duplo	sen(2x) = 2sen(x)cos(x)
Co-seno de um arco duplo	cos(2x) = cos²(x) - sen²(x)
Equivalência Fundamental	sen²(x) + cos²(x) = 1

Agora, com estas fórmulas em mãos, podemos substituir na equação do enunciado:

sen(x) - cos (x) = 2sen(x)cos(x) - [cos²(x) - sen²(x)] - 1
sen(x) - cos (x) = 2sen(x)cos(x) - cos²(x) + sen²(x) - 1

Vamos substituir o "1" do lado direito da equação pela "Equivalência fundamental":

sen(x) - cos (x) = 2sen(x)cos(x) - cos²(x) + sen²(x) - [sen²(x) + cos²(x)]
sen(x) - cos (x) = 2sen(x)cos(x) - cos²(x) + sen²(x) - sen²(x) - cos²(x)

Podemos cancelar os termos sen²(x) do lado direito:

sen(x) - cos (x) = 2sen(x)cos(x) - cos²(x) - cos²(x)
sen(x) - cos (x) = 2sen(x)cos(x) - 2cos²(x)

Podemos colocar o termo 2cos(x) em evidência do lado direito da equação:

sen(x) - cos (x) = 2cos(x)[sen(x) - cos(x)]

Agora podemos passar dividindo o termo entre colchetes para o lado esquerdo:

$formdata=\frac{\sin(x)-\cos(x)}{\sin(x)-\cos(x)}=2\cos(x)$

Note, que, esta divisão só irá existir se o denominador for diferente de ZERO. Portanto, para podermos prosseguir com a resolução, devemos garantir que:

sen(x) - cos (x) ≠ 0
sen(x) ≠ cos (x)

Para isso, devemos ter:

x ≠ 45^oe x ≠ 225^o

pois estes são os valores, entre 0^o e 360^o que possuem o seno igual ao co-seno.

ATENÇÃO

Devo lembrar que, estes valores não estarão presentes mais na possível resposta do nosso cálculo, a partir de agora (pois para prosseguir tivemos que garantir que sen(x)-cos (x)≠0), mas não quer dizer que não poderão ser respostas da questão. Para afirmarmos se eles são, ou não, respostas da questão, devemos testar cada valor e ver se achamos uma igualdade. Deixaremos este teste para o final da questão.

Continuando, efetuando a divisão em que paramos:

$formdata=\frac{\sin(x)-\cos(x)}{\sin(x)-\cos(x)}=2\cos(x)$

1 = 2cos(x)

Portanto:

$formdata=\cos(x)=\frac{1}{2}$

E isso irá ocorrer quando x for igual a 60^o ou 300^o. Ou seja, transformando em radianos:

$formdata=x=\frac{\pi}{3}$ ou $formdata=x=\frac{5\pi}{3}$

Estes foram os valores encontrados no nosso cálculo. Agora iremos testar os valores x = 45^oe x = 225^o para saber se eles irão entrar na resposta final, ou não. Para testar, devemos simplesmente substituir o valor de x pelo valor a ser testado na equação original sen(x) - cos (x) = sen (2x) - cos (2x) - 1.

x = 45^o

sen(45^o) - cos (45^o) = sen (2.45^o) - cos (2.45^o) - 1
sen(45^o) - cos (45^o) = sen (90^o) - cos (90^o) - 1

$formdata=\frac{\sqrt+2}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=1-0-1$

Ou seja:

0=0

Que é uma verdade matemática, portanto, x = 45^o é uma resposta válida para a questão.

$formdata=45^{\circ}=\frac{\pi}{4}rad$

x = 225^o

sen(225^o) - cos (225^o) = sen (2.225^o) - cos (2.225^o) - 1
sen(225^o) - cos (225^o) = sen (450^o) - cos (450^o) - 1

$formdata=-\frac{\sqrt+2}{2}-\left(-\frac{\sqrt+2}{2}\right)=1-0-1$

Ou seja:

0=0

Que é uma verdade matemática, portanto, x = 225^o também é uma resposta válida para a questão.

$formdata=225^{\circ}=\frac{5\pi}{4}rad$

Mas não devemos nos esquecer que os arcos que são formado por estes MAIS um número inteiro de voltas, possuem os mesmos valores de co-seno. Por exemplo, o arco 60^o e o arco 420^o (360^o+60^o) possuem o mesmo valor de co-seno pois o segundo é o primeiro mais uma volta. Representamos este número de voltas por 2kπ. Portanto, a resposta correta seria:

$formdata=x=\frac{\pi}{3}+2k\pi$ ou $formdata=x=\frac{5\pi}{3}+2k\pi$

$formdata=x=\frac{\pi}{4}+2k\pi$ ou $formdata=x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi$ 1

Estas são as respostas corretas! :-)

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