Banco de Questões - Progressão Aritmética com Logaritmos

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( UFBA ) Considere a P.A. de razão "r" , dada por (log4 , log12 , log36 , ... ). Sendo a₂₂ = k, determine

$formdata=\frac{10^{k+r}}{3^{20}}$

Lembrando que a razão de uma P.A. pode ser determinada pela subtração do segundo pelo primeiro termo, temos:

$formdata=r=\log+12+-+\log+4$

Aplicando a propriedade de logaritmos:

$formdata=r=\log+\left(\frac{12}{4}\right)\\r=\log+3$

Pela fórmula do termo geral de uma P.A., temos:

$formdata=a_{22}=a_1+21\cdot+r$

$formdata=a_{22}=\log+4+++21\cdot\log+3$

Novamente propriedades de logaritmo:

$formdata=k=a_{22}=\log+4++\log+3^{21}$

$formdata=k=\log\left(4\cdot3^{21}\right)$

O exercício pede $formdata=\frac{10^{k+r}}{3^{20}}$ então, substituindo, temos:

$formdata=\frac{10^{(\log\left(4\cdot3^{21}\right)+\log+3)}}{3^{20}}$

Aplicando as propriedades de logaritmo no expoente:

$formdata=\frac{10^{\log\left(4\cdot3^{21}\cdot+3\right)}}{3^{20}}$

Agora podemos cortar a base 10 (outra propriedade de logaritmos):

$formdata=\frac{4\cdot3^{21}\cdot+3}{3^{20}}$

Efetuando a divisão das potências de 3:

$formdata=4\cdot+3+\cdot+3+=+\Large{36}$

Esta é a resposta para este exercício.

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