Banco de Questões - Módulo de função do 2° grau

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Seja $f$ a função real dada por $f(x) = ax^2 + bx + c$ , com $a \gt 0$ .

Determine $a$ , $b$ e $c$ sabendo que as raízes da equação $|f(x)| = 12$ são ${-}2$ , $1$ , $2$ e $5$ .

Começamos interpretando as informações dadas a respeito de $formdata=f(x)$ .

Se ${-}2$ é raiz de $|f(x)| = 12$ , então temos que $formdata=|f(-2)|=12$ e isso implica que $formdata=f(-2)$ vale $formdata=12$ ou $formdata=-12$ .

Com esse mesmo raciocínio vemos que $formdata=f(1)$ também só pode valer $formdata=12$ ou $formdata=-12$ .

Idem para $formdata=f(2)$ e $formdata=f(5)$ (todas as raízes de $|f(x)| = 12$ ).

Assim, podemos desenhar estas possibilidades em um gráfico cartesiano:

modulo função segundo grau

Os pontos assinalados em azul na figura acima são as possibilidades descritas anteriormente. Agora, para desenhar uma parábola nestes pontos, note que não podemos escolher todos igual a 12. Pois, assim, teríamos quatro pontos com mesmo valor de Y, e em uma parábola só é possível ter dois pontos com mesma ordenada.

Veja que a única configuração que poderia gerar uma parábola com concavidade para cima (pois o enunciado diz que a > 0), é como mostrado abaixo:

módulo função do segundo grau

Com esta constatação, temos as informações:

$formdata=f(-2)=12$

$formdata=f(1)=-12$

$formdata=f(2)=-12$

$formdata=f(5)=12$

E, agora, substituindo estas quatro informações na equação dada no enunciado $f(x) = ax^2 + bx + c$ , podemos montar um sistema para descobrir a, b e c.

$formdata=\left\{a\cdot(-2)^2+b\cdot(-2)+c=12\\a\cdot(1)^2+b\cdot(1)+c=-12\\a\cdot(2)^2+b\cdot(2)+c=-12\\a\cdot(5)^2+b\cdot(5)+c=12\right.$