Seja P um ponto no interior do triângulo ABC tal que <PAC=10°,<PCA=20°,<PAB=30° e <ABC=40°.

Usando a Lei dos Senos, determine, em graus, o ângulo <BPC.

Começamos fazendo o desenho da situação, com todas informações do enunciado:

Bom, o enunciado diz que devemos utilizar a lei dos senos. A primeira dúvida é: em qual triângulo utilizar?

Note que ABC é um triângulo isósceles, com base AB. Vemos, então, a primeira relação, .

Já que temos esta realação, vamos aplicar a lei dos senos nos triângulos BPC e APC, chamaremos . Começamos com APC:

Sabemos que , portanto:

(1)

Antes de continuarmos, vejamos uma relação entre ângulos. Como a soma dos ângulos do triângulo ABC é 180°, podemos concluir que o ângulo BCP vale 80°. Consequentemente, temos o ângulo PBC valendo .

Agora, aplicamos a lei dos senos no triângulo BPC.

Sabemos que a=b e podemos substituir a equação (1):

Abrimos a subtração no seno desta equação utilizando a fórmula :

Aplicamos então a relação com a=10°.