Banco de Questões - Aritmética
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( IME - 2000 ) é divisível por 12 . Vamos dizer que o produto pedido vale "P", ou seja: P = (a-b) . (c-a) . (d-a) . (d-c) . (d-b) . (c-b) Utilizaremos as seguintes propriedades:
Devemos também lembrar que cada número par pode ser escrito como 2 . k, onde k é um número inteiro qualquer. Portanto, se tivermos dois números pares, 2 . k e 2 . k', o produto entre eles será:
Sendo assim, podemos garantir que um número PAR multiplicado por outro número PAR, sempre será divisível por 4. Sabendo que os números a, b, c e d são inteiros, concluímos que cada um deles poderá ser ou PAR ou ÍMPAR. Sendo assim, poderemos ter as seguintes situações:
Sendo assim, em qualquer situação teremos "P" divisível por 4. Mas, para "P" ser divisível por 12, deve ser, ao mesmo tempo, divisível por 4 e por 3. Sendo assim, falta garantirmos um fator divisível por 3 em "P". Podemos dizer que qualquer número inteiro pode ter uma das três representações abaixo:
Todos os números inteiros existentes possui representação igual a uma das três classes mostradas acima. Quando efetuamos a subtração de dois números de mesma classe com certeza teremos um múltiplo de três: 3k - 3k' = 3 . (k - k') 3q + 1 - (3q' + 1) = 3q - 3q' + 1 - 1 = 3 . (q - q') 3w + 2 - (3w' + 2) = 3w - 3w' + 2 - 2 = 3 . (w - w') Como temos quatro números e apenas três classes, com certeza dois deles irão pertencer à mesma classe, nos trazendo um fator múltiplo de 3, garantindo a divisibilidade por 3. Portanto, concluímos que, sendo "P" divisível por 4 e por 3 ao mesmo tempo, com certeza é divisível por 12 :-)
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