( CONSART - 1975 ) O ponto O é o centro do círculo ACBD e extremidade das semicircunferências OA e OB da figura. A reta que contém O e divide a região hachurada em duas partes de mesma área faz com OA um ângulo de:

    (A) 36^o
    (B) 45^o
    (C) 52^o 30'
    (D) 60^o
    (E) 75^o

Traduzindo o que o exercício pede, teremos um segmento na parte cinza que irá dividi-lo em duas partes de mesma área. Como na figura abaixo (o segmento mais grosso):

O exercício pede justamente o valor do ângulo α. Vamos dizer que o raio do círculo vale "R".

Para tal cálculo, devemos ter em mente a fórmula da área de um setor circular α qualquer (vamos chamar de "As", Área do setor). Lembre-se que esta fórmula nada mais é do que uma regrinha de três, como mostrado no quadro abaixo:

calculando:

Sempre lembrando que o α deve ser em radianos.

Com esta fórmula em mente, voltamos a pensar no enunciado.

Olhando para A₁, podemos dizer que este será a soma da área de um semicírculo (no desenho abaixo pintado de vermelho) com a área de um setor circular (no desenho abaixo pintado de verde).

Olhando para o desenho, vemos que o semicírculo possui diâmetro igual à "R", portanto, seu raio irá valer R/2 e sua área - se fosse um círculo completo - seria π(R/2)². Ou seja, como temos metade de um círculo, teremos metade da área, metade de π(R/2)²:

E utilizando a fórmula demonstrada no início do problema, vamos calcular a área do setor verde:

Como sabemos que A₁ será a soma destas duas áreas, temos:

(1)      

Guardamos esta equação como equação (1).

Devemos agora achar A₂.

Olhando para A₂ podemos dizer que será a área de um setor circular (180^o - α) - marcado de amarelo na figura abaixo - menos a área de um semicírculo igual ao anterior - marcado de azul na figura abaixo. Veja as figuras:

A área do setor (As2) iremos calcular pela fórmula. Mas, lembrando que o arco deve ser dado em radianos, 180^o vira π rad.

E a área do semicírculo já é conhecida:

E A₂ será As2 - A_azul , portanto:

(2)      

Esta é a equação (2) da área A₂. Como o exercício diz que A₁ deve ser igual a A₂, vamos igualar as equações (1) e (2).

Podemos colocar o termo R²/2 em evidência dos dois lados da igualdade:

Podemos cortar o termo R²/2 que está presente dos dois lados:

Vamos passar o que é α para o lado esquerdo da equação e o que não é α para o lado direito:

Portanto:

Este é o valor em radianos, para transformar em graus devemos somente substituir o π por 180^o.

α = 45^o

Resposta certa, letra "B". Trabalhoso, não? :-)