Banco de Questões - Equação Irracional

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Determinar todos os valores reais que satisfazem a equação:

$formdata=\Large+x^2-3x+1=\frac{3+\sqrt{5+4x}}{2}$

O objetivo inicial desta questão é conseguir efetuar a substituição $formdata=y=\sqrt{4x+5}$ .

Para conseguir efetuar esta substituição, devemos fazer aparecer o $formdata=4x+5$ no lado esquerdo da igualdade.

Começamos multiplicando ambos os lados por 16:

$formdata=16x^2-48x+16=8\cdot(3+\sqrt{4x+5})$

Modificamos as parcelas e maneira a aparecer o quadrado perfeito procurado:

$formdata=16x^2+40x+25-88x-9=24+8\sqrt{4x+5}$

$formdata=(4x+5)^2-22\cdot(4x)=24+9+8\sqrt{4x+5}$

Note que podemos fazer aparecer, juntamente com o 4x dentro dos parênteses, o +5 necessário:

$formdata=(4x+5)^2-22\cdot(4x+5-5)=24+9+8\sqrt{4x+5}$

Agora sim, fazemos a substituição $formdata=y=\sqrt{4x+5}$ , que acarreta também a substituição $formdata=y^2=4x+5$ :

$formdata=(y^2)^2-22\cdot(y^2-5)=33+8y$

$formdata=y^4-22y^2-8y+77=0$

Agora o objetivo é resolver esta outra equação. Que também é bem macetosa.

Acompanhe:

$formdata=y^4-22y^2+77=8y$

$formdata=y^4-22y^2+77+4=8y+4$

$formdata=y^4-22y^2+81=8y+4$

$formdata=(y^2-9)^2-4y^2=8y+4$

$formdata=(y^2-9)^2=4y^2+8y+4$

$formdata=(y^2-9)^2=4\cdot(y^2+2y+1)$

$formdata=(y^2-9)^2=4\cdot(y+1)^2$

Agora extraímos a raiz quadrada de ambos os lados. Não esqueça-se que devemos considerar tanto a raiz positiva quanto a raiz negativa:

$formdata=y^2-9=\pm+2\cdot(y+1)\rightarrow\left\{y^2-9=+2\cdot(y+1)\text{+++++++eq.+1}\\y^2-9=-+2\cdot(y+1)\text{+++++eq.+2}\right.$

Equação 1: $formdata=y^2-2y-11=+0\rightarrow\left\{y=1+2\sqrt{3}\\y=1-2\sqrt{3}\right.$

Equação 2: $formdata=y^2+2y-7=0\rightarrow\left\{y=-1+2\sqrt{2}\\y=-1-2\sqrt{2}\right.$

Veja, pela substituição $formdata=y=\sqrt{4x+5}$ temos que nosso "y" é um valor positivo. Ou seja, somente as raízes $formdata=y=1+2\sqrt{3}$ e $formdata=y=-1+2\sqrt{2}$ podem continuar na resolução.

Cada um destes valores de "y" irá nos gerar um possível resultado para "x".

Encontramos estes valores de "x" voltando atrás na substituição $formdata=y=\sqrt{4x+5}$ :

$formdata=y=1+2\sqrt{3}\,\,\rightarrow\,\,1+2\sqrt{3}=\sqrt{4x+5}\\(1+2\sqrt{3})^2=(\sqrt{4x+5})^2\\1+4\sqrt{3}+12=4x+5$

$formdata=x=2+\sqrt{3}$

$formdata=y=-1+2\sqrt{2}\,\,\,\rightarrow\,\,\,-1+2\sqrt{2}=\sqrt{4x+5}\\(-1+2\sqrt{2})^2=(\sqrt{4x+5})^2\\1-4\sqrt{2}+8=4x+5$

$formdata=x=1-\sqrt{2}$

Muito legal esta questão.

Atenciosamente
Prof. Caju
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