Banco de Questões - Equações Exponenciais

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A solução da equação 2 ^. 9^x = 4^x - 6^x é o número real log_BA.

Portanto, a razão entre B e A é:

A primeira impressão é que esta questão é impossível de ser resolvida, mas se acalme, é que nem as outras de exponenciais que você conhece!

Vamos fatorar os números envolvidos:

2 ^. 9^x = 4^x - 6^x

2 ^. (3²)^x = (2²)^x - (2^. 3)^x

Efetuando as propriedades de potenciação, teremos:

2 ^. (3^x)² = 2^2x - 2^{x .} 3^x

Para nos auxiliar, vamos substituir uma das potências envolvidas:

3^x = y

Substituindo:

2 ^. y² = 2^2x - 2^{x .} y

(1) 2 ^. y² + 2^{x
.} y - 2^2x = 0

Temos agora uma equação do segundo grau em que os coeficientes para a fórmula de Baskhara, são a=2, b=2^x e c=-2^2x.

Aplicamos Baskhara:

$formdata=\frac{-2^x\pm\sqrt{(2^x)^2-4\cdot+2\cdot+(-2^{2x})}}{2\cdot+2}\\\frac{-2^x\pm\sqrt{2^{2x}+8\cdot+2^{2x}}}{4}\\\frac{-2^x\pm\sqrt{9\cdot+2^{2x}}}{4}$

Veja que, dentro dos parênteses, podemos extrair a raiz de 9, que é 3, e de 2^2x, que é 2^x.

$formdata=\frac{-2^x\pm{3\cdot+2^{x}}}{4}=\left<\frac{-2^x+{3\cdot+2^{x}}}{4}=\frac{^2\cdot+2^x}{4}=\frac{2^x}{2}=2^{x-1}\\\frac{-2^x-{3\cdot+2^{x}}}{4}=\frac{-4\cdot+2^{x}}{4}=-2^x$

Assim, as raízes da equação (1), que tem y como incógnita, são 2^x-1 e -2^x . Portanto, estes são os valores de y.

y = 2^x-1

y = -2^x

Só que y = 3^x, então:

$formdata=3^x=2^{x-1}\\3^x=\frac{2^x}{2}\\2=\frac{2^x}{3^x}\\2=\left(\frac{2}{3}\right)^x\\\log_{\left(\frac{2}{3}\right)}2=x$

3^x = -2^x Este é um absurdo, pois não há como elevar a base 3 a um expoente que resulte um número negativo.

Portanto, a resposta final é $formdata=\log_{\left(\frac{2}{3}\right)}2=x$ , ou seja, $formdata=A=2$ e $formdata=B=\frac+23$ . E a razão entre B e A é:

$formdata=\frac+BA=\frac{\,\frac{2}{3}\,}{2}=\frac+23\cdot\frac+12=\frac+13$

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