Banco de Questões - Trigonometria

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( ITA - 89 ) O produto dos números complexos $formdata=Z=x+yi$ , que têm módulo igual a $formdata=sqrt+2$ e se encontram sobre a reta $formdata=y=2x-1$ contida no plano complexo, é igual a:

(A) $formdata=\frac{6}{5}-\frac{8}{5}\cdot+i$

(B) $formdata=\frac{4}{5}-\frac{2}{5}\cdot+i$

(C) $formdata=-\frac{8}{5}-\frac{8}{8}\cdot+i$

(D) $formdata=2+2\cdot+i$

(E) N.D.A

Se Z = x + yi e y = 2x - 1, podemos substituir o valor de y da segunda equação na primeira:

Z = x + (2x - 1)i

Como é dito que o módulo do número Z é $formdata=sqrt+2$ , devemos utilizar a fórmula do módulo dos complexos. Lembrando:

sendo Z = a + bi

$formdata=|Z|=sqrt{a^2+b^2}$

Aplicando a fórmula, temos:

$formdata=|Z|=sqrt{x^2+(2x-1)^2}\\\sqrt+2+=+sqrt{x^2+(2x-1)^2}$

Elevando ao quadrado ambos os lados

$formdata=\left(\sqrt+2\right)^2+=+\left(sqrt{x^2+(2x-1)^2}\right)^2\\2=x^2+(2x-1)^2$

Vamos agora calcular o quadrado dos termos dos parênteses:

2 = x² + 4x² - 4x + 1
x² + 4x² - 4x + 1 = 2
5x² - 4x + 1 -2 = 0
5x² - 4x - 1 = 0

Chegamos em uma equação do segundo grau, aplicando Bhaskara achamos as raízes:

$formdata=x'=1\textrm{+++e+++}x''=-\frac{1}{5}$

Estes são os valores de x, agora vamos substituir na equação da reta para achar seus respectivos y:

y' = 2x' - 1
y' = 2.1 - 1
y' = 1

$formdata=y''=2x''-1\\y''=2\cdot\left(-\frac{1}{5}\right)-1\\y''=-\frac{7}{5}$

Portanto, os números complexos que obedecem ao enunciados são:

$formdata=1+i\textrm{+++e+++}-\frac{1}{5}-\frac{7}{5}\cdot+i$

Como o exercício pede a multiplicação destes números, vamos multiplicar:

$formdata=(1+i)\cdot\left(-\frac{1}{5}-\frac{7}{5}\cdot+i\right)=\frac{6}{5}-\frac{8}{5}\cdot+i$

Resposta certa, letra "A"

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