( ITA - 88 ) Num triângulo ABC, retângulo em A, de vértices

B(1,1) e C(3,-2),

o cateto que contém o ponto B é paralelo à reta de equação

3x - 4y + 2 = 0.

Então, a reta que contém o cateto AC é dada por:

(A) 4x + 3y - 6 = 0
(B) 4x + 3y - 3 = 0
(C) 3x - 4y + 1 = 0
(D) 2x + 5y = 0
(E) 4x - 3y + 6 = 0

Veja a ilustração das informações disponibilizadas no enunciado:

Como é dito que o lado AB é paralelo à reta vermelha e o ângulo reto está presente no vértice A, o desenho mais indicado para esta situação seria:

Onde a figura amarela é o triângulo retângulo de que o exercício se refere.

Sabemos as coordenadas dos pontos B e C e como não sabemos as do ponto A, vamos dizer que A(x, y).

Inicialmente, vamos transformar a equação geral da reta vermelha no formato reduzido (apenas isolar "y").

Assim podemos concluir que o coeficiente angular da reta vermelha vale 3/4. Portanto, por paralelismo, o coeficiente angular da reta AB (paralela à vermelha) também será 3/4. Lebrando da fórmula do coeficiente angular "a" de uma reta definida por dois pontos:

Podemos utilizar esta fórmula para a reta AB.

Efetuando as operações:

(1)   

Guardamos esta como sendo a equação (1).

Como o vértice "A" possui um ângulo reto, notamos claramente que a reta AC será perpendicular à reta AB. Lembrando que, no perpendicularismo, os coeficientes angulares são inversos (1/a) e opostos (troca de sinal), podemos concluir que o coeficiente angular "m" da reta AC é:

Utilizando, novamente, a fórmula do coeficiente angular para a reta AC, teremos: A(x, y) C(3, -2)

Efetuando as operações:

3.( -2 - y ) = -4.( 3 - x )

- 6 - 3y = - 12 + 4x

- 6 + 12 = 4x + 3y

(2)  4x + 3y = 6

Com as duas equações em mãos, podemos formar um sistema e calcular o valor de x e de y.

(1)   4y - 3x = 1
(2)   4x + 3y = 6

Vamos isolar o valor de y na equação (1):

Agora podemos substituir este valor na equação (2):

Tirando MMC:

Podemos cortar os denominadores e efetuar o resto das operações:

Agora, para descobrir o valor de y iremos apenas substituir o valor de x na equação (2):

Com isso sabemos as coordenadas do ponto "A".

O exercício pede a equação da reta AC:

Já temos o valor do coeficiente angular da reta AC (chamamos de "m"). Como sabemos, qualquer reta terá sua equação reduzida no formato:

y = mx + b

Onde "m" é o coeficiente angular, neste caso vale m=-4/3. Portanto:

Para descobrir o "b", vamos substituir o ponto C na equação (pois, com certeza, é um ponto da reta AC):

Portanto, a equação da reta no formato reduzido é:

Note que, nas respostas todas equações estão no formato geral, portanto, vamos transformar. Tirando MMC:

Resposta certa, letra "A".