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( AFA ) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado, EFD é um triângulo equilátero e CDE são colineares. Sabendo que CB=FE= u.c., qual a área do triângulo DGH?

afa01-01.gif (2094 bytes)


u.c. = Unidades de Comprimento
u.a. = Unidades de Área

Primeiramente, vamos analisar algumas propriedades do desenho que serão importantes para a resolução.

A primeira propriedade, que é vista de cara, são os valores de comprimento das arestas. Como ABCD é um quadrado e EFD é um triângulo equilátero, podemos colocar o valor em, praticamente, todas as arestas da figura. Veja o desenho abaixo.

afa01-03.gif (2485 bytes)

Veja, que, o ponto D divide o segmento CE em dois segmentos de mesmo comprimento, portanto, é o ponto médio.

Prolongando o segmento BA e traçando uma paralela a BC passando por E temos um retângulo que pode nos auxiliar a "pegar" outra propriedade bem interessante. Veja a figura abaixo:

afa01-02.gif (2417 bytes)

Note, que, o segmento BE é a diagonal do retângulo BPEC. Como D é o ponto médio de CE, e o segmento DA é paralelo à BC, o ponto G será o ponto médio da diagonal do retângulo, portanto, será o ponto médio do segmento AD. Sendo assim, o comprimento de GD será a metade de DA, ou seja, .

afa01-04.gif (2471 bytes)

O triângulo GDE é retângulo, portanto, já sabemos o valor de sua base e de sua altura. Com isso, podemos calcular o valor da área, ou seja, chamando esta área de AGDE, temos.

Calculando:

AGDE = 11 u.a.

Guardaremos este valor para uso futuro.

Sabemos que o ângulo interno de um triângulo equilátero é 60o, portanto, o ângulo HDE irá valer 60o. Colocando na figura, vemos que o ângulo GDH só poderá valer 30o para completar os 90o do ângulo GDE. Veja o desenho ao lado:

afa01-05.gif (2180 bytes)

Pronto, já temos todas informações necessárias para calcularmos a área desejada. Para facilitar a visualização, vamos trabalhar somente com o triângulo GDE da figura original, pois o restante já não será mais útil.

afa01-06.gif (2081 bytes)

Note, que, o lado DH foi chamado de "X".

Relembrando a fórmula de trigonometria da área de um triângulo, poderemos calcular a área do triângulo hachurado assim que calcularmos o valor de "X". Para isso, vamos observar as áreas dos triângulos GDH e DHE por esta fórmula.

Observe, que, a soma destas duas áreas irá resultar, exatamente, a área do triângulo GDE (que calculamos anteriormente, AGDE = 11 u.a.). Portanto, falando matematicamente, podemos escrever:

Substituindo os valores:

Lembrando:


Podemos substituir:

O denominador 2 é comum às duas frações. Sendo assim, podemos escrever:

"Passando" o 2, que está dividindo o lado direito, multiplicando para o lado esquerdo e efetuando as multiplicações do numerador da fração maior, temos:

Novamente, o 2 é denominador comum, podemos escrever:

"Passando" o 2 que está dividindo para o outro lado multiplicando:


Do lado direito da equação, podemos colocar o fator "" em evidência:

Vamos isolar o valor "X":

Agora, com o valor de "X" em mãos, calcularemos a área do triângulo hachurado pela fórmula da trigonometria (vista anteriormente):

afa01-07.gif (2191 bytes)

O fator pode ser anulado e sen(30o)=1/2:

Efetuando a multiplicação:

Efetuando a divisão das frações:

Calculando:

Simplificando:

Racionalizando:

Efetuando os cálculos, temos:


Ufa, esta é a resposta final!! :)


Agora tente você:

(AFA - 1998) Na figura abaixo o perímetro do triângulo equilátero ABC é 72 cm. M é o ponto médio de AB e CE=16 cm. Então, a medida do segmento CN, em cm, é um sétimo de:

      (A) 48.
      (B) 49.
      (C) 50.
      (D) 51.

afa01-08.gif (1518 bytes)

 


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