Exponenciais - Inequações
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Antes de mais nada, vamos interpretar o nome "Inequações Exponenciais".

É uma inequação porque não é uma equação (hehehe, até parece brincadeira), ou seja, pois na expressão não há uma IGUALDADE ou um sinal de igual (=).

É "Exponencial" pois em um dos termos da inequação há um expoente com uma incógnita, ou também chamada, variável (normalmente é "x").

Veja uns exemplos de inequações exponenciais:

23x > 4x             54x2 < 253x             ineq01.gif (1576 bytes)

Note que nestas expressões não aparece o sinal de igualdade (=), e sim outros sinais. São eles:

Símbolo Significado
> maior
< menor
maior ou igual
menor ou igual

Veja também, algumas frases matemática que utilizam estes simbolos:

Frase Como se lê V/F
2 < 3 Dois é menor que três. VERDADEIRO
43 > 40 Quarenta e três é maior que quarenta. VERDADEIRO
23 ≥ 100 Vinte e três é maior ou igual que cem. FALSO
ineq02.gif (1113 bytes) Dois terços é menor ou igual a quatro terços. VERDADEIRO
5 ≥ 5 Cinco maior ou igual a cinco. VERDADEIRO
OBS.: Na inequação acima, como o sinal significa "maior OU igual" pode ser ou maior ou igual.
No exemplo é igual, por isso é verdadeiro.

Devemos lembrar que, em uma inequação, quando trocarmos o lado direito da desigualdade pelo lado esquerdo da mesma, o sinal deve também inverter. Ou seja:

25 < 50

Agora vamos colocar o 25 para direita e o 50 para esquerda.

50 > 25

Note que o sinal teve que obrigatoriamente inverter. Esta regra também vale para inequações exponenciais.

23x ≤ 32x

Ao inverter os lados:

32x ≥ 23x

Devemos inverter o sinal de desigualdade, qualquer que seja ele.

A resolução de INEquações exponenciais inicia com o mesmo objetivo de uma Equação exponencial: IGUALAR AS BASES. Podemos dividir as inequações em dois tipos. O 1o tipo que iremos ver, não tem diferença nenhuma no modo de resolver em relação as equações. Veja um exemplo do 1o tipo resolvido abaixo:

2x < 83

Como em uma equação, vamos fatorar ambos os lados:

2x < (23)3

Aplicando as propriedades de potenciação

2x < 29

Pronto, com as bases iguais podemos cortá-las e trabalhar somente com os expoentes.

x < 9

Gran finale!! Esta é a resposta

Se você estudou bem as equações, não terá dificuldades em inequações.

O 2o tipo tem uma pequena diferença, mas nada que dê para assustar. Faz de conta que não sabemos que existe tal diferença e vamos resolver o problema abaixo:

ineq03.gif (1220 bytes)

Bom, como o objetivo é igualar as bases, já conseguimos. O exercício nos entregou quase pronto. Agora é só cortar as bases e trabalhar com os expoentes.

4x + 5 ≥ 2x + 3

Vamos resolver

4x - 2x ≥ 3 - 5
2x ≥ -2
x ≥ -1

Esta seria a resposta que nós acharíamos, se não soubéssemos o segundo tipo. Vamos verificar se dá certo?

Se esta resposta for a certa, qualquer valor maior do que -1 (ou o próprio -1) que substituirmos na inequação inicial deveremos achar uma frase verdadeira. Vamos testar com o valor 0.

ineq04.gif (2376 bytes)

Note que não chegamos em uma verdade pois ineq05.gif (956 bytes) não é maior nem igual a ineq06.gif (915 bytes).

Isto sempre irá acontecer quando tivermos como base um número que seja menor que 1 e maior que 0 (0<base<1). Repare que esta é a mesma restrição para se ter uma função exponencial DECRESCENTE. Veja o gráfico abaixo de uma função exponencial decrescente:

ineq07.gif (2413 bytes)

Note que se aumentarmos o valor de x, iremos diminuir o valor de y (x2>x1 <=> ax2<ax1). Isto nos indica que quando "cortarmos" as bases de uma inequação com 0<base<1 devemos inverter a desigualdade.

Veja o exemplo acima resolvido corretamente:

ineq03.gif (1220 bytes)

Já igualadas as bases, vamos cortá-las. Mas com o cuidade de inverter a desigualdade.

4x + 5 ≤ 2x + 3

Agora é só resolver.

4x - 2x ≤ 3 - 5
2x ≤ -2
x ≤ -1

Agora sim esta é a resposta certa!

 

OBSERVAÇÃO

Sempre que tivermos uma base menor que 1 e maior que 0 (0<base<1) devemos INVERTER o sinal da desigualdade ao "cortar" as bases da inequação.


Clique aqui para fazer alguns exercícios e ver alguns resolvidos sobre esta matéria.

avancar.gif (1126 bytes)

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