(IME - 1998 modificada) Uma soma finita de números inteiros consecutivos, ímpares, alguns positivos e outros negativos, com parcelas de um, dois e três algarismos, é igual a 7³. Determine os termos desta soma.

Digamos que o primeiro número desta seqüência seja "x", portanto, teremos a seguinte seqüência:

{x, x+2, x+4, x+6, ..., x + (n-1) ^. 2}

O exercício nos diz que a soma destes termos é 7³, que vale 343. Então:

x + x+2 + x+4 + x+6 + ... + x + (n-1) ^. 2 = 343

Aplicando a fórmula da soma dos termos de uma P.A., teremos:

Efetuando algumas continhas:

O lado esquerdo da equação podemos simplificar por 2:

(x + n - 1) ^. n = 343

Isolando o "x", teremos:

Como sabemos que o valor de "x" deve ser inteiro (pelo enunciado), e o valor de "n" deve ser natural (por ser a quantidade de termos), sabemos que "n" deve ser um dos divisores positivos de 343 (caso contrário a divisão 343/n não seria exata, tornando x um número não inteiro).

divisores(343) = {1, 7, 49, 343}

De cara já sabemos que n = 1 não pode ser resposta, pois o enunciado diz númeroS (no plural).

Se n = 7, teremos x = 49 - 7 + 1 = 43, que também não pode ser, já que se "x" for positivo todos os outros também serão, contrariando o enunciado (que diz que há termos positivos e negativos).

Se n=49 teremos x = 7 - 49 + 1 = - 41, esta situação fará todos os números da seqüência terem ou 1 ou 2 algarismos, contrariando o enunciado (que diz haver parcelas de um, dois e três algarismos).

Portanto, a resposta correta para "n" é o que sobrou, n=343.
Pois x = 1 - 343 + 1 = -341, e a seqüência fica:

{-341, -339, -337, ... , 337, 339, 343}