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solucionador sudoku

Esta demonstração requer muita atenção.
Antes de resolver o problema, devemos ter em mente uma coisa.
Qualquer número pode ser decomposto em uma soma de parcelas como exemplificado abaixo:

O número 4256 pode ser escrito como 4000 + 200 + 50 + 6, ou seja:

4256 = 4·1000 + 2·100 + 5·10 + 6

Utilizaremos este artifício para resolver o desafio.


Se a pessoa levou 1200 reais para comprar um presente, então o valor do presente terá, no máximo, 4 algarismos. Vamos representar este valor pelo número ABCD, onde A representa o primeiro algarimso, B o segundo e assim sucessivamente.

Ao lermos ao contrário teremos o número DCBA.

O desafio diz que, ao ler ao contrário este valor passa a ser 9 vezes maior, portanto:

ABCD · 9 = DCBA

Nós iremos trabalhar em cima desta conta.

Para facilitar, vamos colocá-la como se fosse uma conta feita à mão, ou seja, no algoritmo da multiplicação:

ABCD

x

9

vaziop.gif (807 bytes)
DCBA

Se não tivéssemos o resultado, ou seja, somente ABCD·9 teríamos que fazer a multiplicação assim como aprendemos lá nas primeiras séries.

A primeira conta seria 9·D, e colocaríamos seu valor logo abaixo, no caso A. Portanto podemos dizer que 9·D = A.

Só que se este número for maior que 10 (muito provável de ser) o "A" será somente as unidades, então devemos dizer que 9·D=PA, onde P representa as dezenas do resultado da multiplicação 9·D, então, vamos decompor este número como vimos no início desta página:

9 · D = P·10 + A

Lembre-se que a parte das dezenas será "passada" para o vizinho.

Vamos guardar esta equação para usa-la depois.

A segunda operação seria fazer o 9 vezes o "C" e somá-lo com a dezena da multiplicação passada, no caso "P".

Teremos 9 · C + P e as unidades deste resultado será igual ao "B". Vamos dizer que as dezenas deste resultado é "Q", portanto, já decomposto:

ABCD
_x__9
DCBA

9·C + P = Q·10 + B

A terceira operação seria multiplicar o 9 pelo "B" e somá-lo com a dezena da mulitplicação de antes, no caso "Q". As unidades deste resultado seria igual ao "C", vamos chamar suas dezenas de "R":

ABCD
_x__9
DCBA

9·B + Q = R·10 + C

E a última operação seria multiplicar o 9 pelo "A" e somá-lo com "R". A resposta desta multiplicação é "D" apenas, não terá dezena pois o resultado da multiplicação ABCD·9 só tem 4 algarismos e não 5. Portanto fica assim:

ABCD
_x__9
D
CBA

9·A + R = D

Agora vamos colocar todas as equações em um sistema:

9·D = P·10 + A
9·C + P = Q·10 + B
9·B + Q = R·10 + C
9·A + R = D

Vamos começar com a última equação.
Sabemos que todos estes valores são números naturais (0, 1, 2, 3, 4...) portanto para que a conta 9·A+R dê um número que só tenha as unidades, o "A" deve ser 1 e o "R" deve ser 0, daí teremos 9·1+0=9.

O "A" também poderia ser 0 você deve estar pensando, mas daí o número ABCD não teria 4 algarismos, somente 3.

Desta conta já sabemos que:

A = 1
R = 0
D = 9

Substituindo estes valores na primeira equação, temos:

9·D = P·10 + A
9
·9 = P·10 + 1
81 - 1 = P
·10
80 = P
·10
P = 8

Até agora o nosso número está assim:

1 B C 9

Como a pessoa só tinha 1200 reais, o valor de "B" só pode ser 0 ou 1. Pois se fosse maior iria ultrapassar o dinheiro que ela tinha.

Faltam a segunda e terceira equações, que estão da seguinte forma:

9·C + 8 = Q·10 + B
9·B + Q = C

Sabendo que "B" só pode ser 0 ou 1, vamos tentar ver se ele pode valer 1 substituindo nas equações.

9·C + 8 = Q·10 + 1
9 + Q = C

Vamos resolver o sistema, trocando o valor de "C", que é dado na segunda equação, na primeira equação.

9·(9 + Q) + 8 = Q·10 + 1
81 + 9Q + 8 = 10Q + 1
89 - 1 = 10Q - 9Q
Q = 88

Isto está errado pois o "Q" só pode ser um número de um algarismo e 88 tem dois algarismos, então o valor de "B" só pode ser 0.

Vamos substituir "B" por zero e ver como é o verdadeiro sistema:

9·C + 8 =Q·10 + 0
9·0 + Q = C

9C + 8 = 10Q
Q = C

Este é o sistema. Vamos substituir o valor de "Q", dado na segunda equação, na primeira.

9C + 8 = 10C
8 = 10C - 9C
C = 8

Pronto, já sabemos todos algarismos do nosso valor: A=1 B=0 C=8 e D=9

1089

Fazendo a prova real:

1089·9 = 9801

Ok, provado


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