Quanto vale a soma ?

Como temos as duas Progressões em um só problema, não podemos usar nenhuma das fórmulas conhecidas, devemos desenvolver um método que possa matar esta charada.

O método é o seguinte: note que podemos representar o segundo termo como se fosse , e o terceiro e assim por diante:

E assim irá, sempre aumentando uma parcela em cada soma. Sabendo isso podemos formar um triângulo com as parcela desta soma:

Se nós somarmos todas partes deste triângulos teremos a soma procurada. Note que cada COLUNA segue como uma PG de razão , sendo que a diferença para cada coluna é o primeiro termo:

Vamos calcular a soma de cada uma destas PGs utilizando a fórmula da soma dos termos de uma PG infinita :

coluna vermelha:

E assim sucessivamente.

Note que conseguimos transformar a soma inicial do enunciado em uma nova soma (a soma das colunas):

Agora esta soma é só uma PG infinita, com primeiro termo e razão . Vamos calculá-la utilizando a mesma fórmula anterior:

Pronto! O resultado que procurávamos é .