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Divisões dos Números Complexos

Para trabalharmos com números, devemos primeiramente ter um conhecimento básico de quais são os conjuntos ("tipos") de números existentes atualmente.

Esta lição tem como objetivo mostrar ao aluno todas estas divisões e apresentar o conjunto dos números COMPLEXOS.

E o que é um conjunto?

Mas, bah!! A concepção de conjuntos nem precisa ser dita, o próprio nome já diz tudo.
Ex. Pega um grupo de cadeiras e junta sobre um círculo feito no chão. Pronto, temos um conjunto de cadeiras.

Mas como o nosso negócio é matemática, o que nos interessa é números.

Conjuntos numéricos podem ser representados de diversas formas. A forma mais simples é dar um nome ao conjunto e expor todos os seus elementos, um ao lado do outro, entre os sinais de chaves. Veja o exemplo abaixo:

Esse conjunto se chama "A" e possui três termos, que estão listados entre chaves.

Os nomes dos conjuntos são sempre letras maiúsculas. Quando criamos um conjunto, podemos utilizar qualquer letra.


Vamos começar nos primórdios da matemática.

- Se eu pedisse para você contar até 10, o que você me diria?

- Um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete, oito, nove e dez.

Pois é, estes números que saem naturalmente de sua boca quando solicitado, são chamados de números NATURAIS, o qual é representado pela letra .

Foi o primeiro conjunto inventado pelos homens, e tinha como intenção mostrar quantidades.

*Obs.: Originalmente, o zero não estava incluído neste conjunto, mas pela necessidade de representar uma quantia nula, definiu-se este número como sendo pertencente ao conjunto dos Naturais. Portanto:

Obs.2: Como o zero originou-se depois dos outros números e possui algumas propriedades próprias, algumas vezes teremos a necessidade de representar o conjunto dos números naturais sem incluir o zero. Para isso foi definido que o símbolo * (asterisco) empregado ao lado do símbolo do conjunto, iria representar a ausência do zero. Veja o exemplo abaixo:


Estes números foram suficientes para a sociedade durante algum tempo. Com o passar dos anos, e o aumento das "trocas" de mercadorias entre os homens, foi necessário criar uma representação numérica para as dívidas.

Com isso inventou-se os chamados "números negativos", e junto com estes números, um novo conjunto: o conjunto dos números inteiros, representado pela letra .

O conjunto dos números inteiros é formado por todos os números NATURAIS mais todos os seus representantes negativos.

Note que este conjunto não possui início nem fim (ao contrário dos naturais, que possui um início e não possui fim).

Assim como no conjunto dos naturais, podemos representar todos os inteiros sem o ZERO com a mesma notação usada para os NATURAIS.

Em algumas situações, teremos a necessidade de representar o conjunto dos números inteiros que NÃO SÃO NEGATIVOS.

Para isso emprega-se o sinal "+" ao lado do símbolo do conjunto (vale a pena lembrar que esta simbologia representa os números NÃO NEGATIVOS, e não os números POSITIVOS, como muita gente diz). Veja o exemplo abaixo:

Obs.1: Note que agora sim este conjunto possui um início. E você pode estar pensando "mas o zero não é positivo". O zero não é positivo nem negativo, zero é NULO.

Ele está contido neste conjunto, pois a simbologia do sinalzinho positivo representa todos os números NÃO NEGATIVOS, e o zero se enquadra nisto.

Se quisermos representar somente os positivos (ou seja, os não negativos sem o zero), escrevemos:

Pois assim teremos apenas os positivos, já que o zero não é positivo.

Ou também podemos representar somente os inteiros NÃO POSITIVOS com:

Obs.: Este conjunto possui final, mas não possui início.

E também os inteiros negativos (ou seja, os não positivos sem o zero):

Uma propriedade interessante dos números inteiros, que já foi mencionada neste texto (e que podemos representar em um gráfico) é a de ter em seu interior todos os números naturais. Veja o gráfico abaixo:

conjint.gif (1612 bytes)


Olhando ainda pela linha do tempo, em um determinado momento começou a ficar crucial a necessidade de se representar "partes" de alguma coisa. Ex.: fatia de um bolo, pedaço de um terreno,... e por essa necessidade foi inventado as frações. Para incluir os número ditos fracionários junto com os já existentes, criou-se o conjunto dos números RACIONAIS (), que indica uma razão (divisão) entre dois números inteiros.

Alguns exemplos de números racionais são mostrados abaixo:

Ou seja, números racionais são todos aqueles que podem ser representados por uma fração de números inteiros.

- Ué, o que que o 6 e o 2,3 estão fazendo ali em cima, se eles não têm o sinal de fração?
- Ora, o 6 pode ser representado pela fração ou até mesmo , e o 2,3 pode ser , portanto, se um número tem a possibilidade de ser escrito em fração de números inteiros, é considerado racional.

- Então me parece que todos os números com vírgula serão racionais??
- Não. Somente os que possuírem finitos algarismos após a vírgula, e as chamadas dízimas periódicas, que possuem infinitos algarismos após a vírgula mas são números racionais. Veja os exemplos abaixo.

3,14159265...

Este não é um número Racional, pois possui infinitos algarismos após a vírgula (representados pelas reticências)

2,252

Este é um número Racional, pois possui finitos algarismos após a vírgula.

2,252525...

Este número possui infinitos números após a vírgula, mas é racional, é chamado de dízima periódica. Reconhecemos um número destes quando, após a vírgula, ele sempre repetir um número (no caso 25).

Com isso podemos concluir que o conjunto dos números RACIONAIS é formado por todos os números Inteiros (como vimos no exemplo anterior, um inteiro pode ser representado como uma fração, por exemplo 10 pode ser ) e mais alguns.

Portanto, o conjunto dos inteiros está "dentro" do conjunto dos Racionais. Representamos assim:

conjracio.gif (2109 bytes)

Note que até agora o conjunto dos números racionais é o maior de todos. E assim durou por muito tempo!

Obs.1: As notações para os "não positivos" e os "não negativos", utilizados para os inteiros, também podem ser usadas para os racionais.

Obs.2: O zero É um número racional, pois podemos representá-lo pela fração:

= {Todos os racionais sem o zero}
= {Todos os racionais NÃO NEGATIVOS}
= {Todos os racionais NÃO NEGATIVOS sem o zero, ou seja, os positivos}
= {Todos os racionais NÃO POSITIVOS}
= {Todos os racionais NÃO POSITIVOS sem o zero, ou seja, os negativos}


Se formos um pouco mais além na história, vamos chegar ao famoso teorema de Pitágoras.

- Ué, não estamos estudando conjuntos?

- Sim, calma lá, é só para explicar.

Pense comigo:

Se temos um triângulo com catetos medindo 1 unidade de comprimento.

Teorema de Pitágoras

Pelo teorema de Pitágoras, calculamos que o terceiro lado (a hipotenusa), vale .

- E quanto é?
- Pois isto não podemos dizer exatamente. O que se sabe é que não dá para representar como uma fração de números inteiros, pois tem infinitas casas depois da vírgula (e não é uma dízima periódica). Então não podemos chamá-lo de número racional. Por este motivo houve a necessidade de criar-se mais um conjunto. Que, por oposição aos números racionais, chama-se "CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS". Formado por todos os números que, ao contrário dos racionais, NÃO podem ser representados por uma fração de números inteiros. Este conjunto é representado por irracionais.gif (859 bytes).

As raízes quadradas não exatas são os principais representantes deste conjunto.

Por exemplo:

=> Todos estes valores não podem ser representados por uma fração de números inteiros, portanto, são chamados de números irracionais.

=> Este número também não tem uma representação em forma de fração, por isso também é um número irracional. Ou seja, se somarmos um racional com um irracional teremos como resultado um irracional.
=> Este também é irracional, pelo mesmo motivo do número acima.

- Ah, entendi! Então o conjunto dos irracionais é formado só pelas raízes quadradas não exatas?

- Não, todas raízes não exatas fazem parte do conjunto dos números irracionais. Mas não são só elas, também estão neste conjunto o número pi (π=3,141592...), o número de Euler (e = 2,71828...), e alguns outros.

Para o Vestibular esses são os irracionais mais importantes!

Portanto, se um número for racional, não pode ser irracional, e vice-versa.

Por isso que, ao representarmos nos balões, devemos separá-los. Veja a figura abaixo:

conjirra.gif (2667 bytes)

Estes números foram utilizados por séculos e até hoje são considerados os mais importantes. Por este motivo, foi dado um nome para o conjunto formado por todos estes conjuntos. O nome escolhido foi "CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS"

Ou seja, o conjunto dos números Reais é formado por todos os números Racionais junto com os números Irracionais, portanto:

conjuntos.gif (3221 bytes)

Note que na parte pintada, não há nenhum número.

Pois, se um número é Real, ou ele será Racional ou ele será Irracional, e se encontrará no seu respectivo conjunto. Não existindo nenhum número que seja REAL e não seja ou RACIONAL ou IRRACIONAL.


Durante muito tempo foi só isso que precisamos, conseguíamos fazer todos os cálculos necessários com apenas estes números.

Mas o tempo foi passando e novas necessidades foram surgindo, veja a história a seguir.

Com um grande salto no tempo, chegamos na casa de nosso querido amigo Caju!

Estava ele brincando com números em sua casa, quando houve o seguinte diálogo...

Caju - Mãe, mãe. Olha só que legal, eu sei que é 5, porque 5 ao quadrado é 25.
Mãe - Oh! Meu filhão, muito bem!
Caju - Também sei que é 9, pois 9 ao quadrado é 81.
Mãe - Ah, filhinho, que bonitinho! Mas me diz uma coisa, quanto é ?
Caju - Ora mãe, isso é fácil, é –5 !
Mãe - Então me prova.
Caju - Olha mãe, (–5) ao quadrado dá... dá...... ops, dá +25...

Pois é galera, qualquer número negativo elevado ao quadrado resulta um valor positivo, então como fazer para calcular a raiz quadrada de um número negativo?

A partir daí firmou-se um mistério na Matemática: quanto vale esta droga de raiz?

O tempo passou, e para solucionar o caso, convencionou-se que , onde i é chamado de unidade imaginária.

Então este mistério foi solucionado

Ex.:
          ^-- Aqui foram usadas as propriedades de radiciação.

E com isso formou-se o conjunto dos números IMAGINÁRIOS, representado pela letra imaginarios.gif (831 bytes), que é composto por todas as raízes de números negativas.

Novamente temos uma divisão, ou o número é Real ou não é Real. Por isso devemos colocar o balão dos imaginários separado dos números Reais. Veja o desenho:

conjima.gif (4072 bytes)

Agora, neste caso temos uma dúvida. Se somarmos um número Real com um número imaginário, como por exemplo:

2+3i

Em que balão ele vai se encontrar?
Não pode ser real, e também não pode ser imaginário.

Para solucionar este caso, convencionou-se que o conjunto dos Reais junto com o conjunto dos Imaginários, é chamado de Conjunto dos números COMPLEXOS, que é representado por C.

Note que o conjunto dos números complexos é o conjunto de TODOS os números que conhecemos até hoje! Preste bem atenção, eu disse TODOS os números conhecidos até hoje! Veja o gráfico abaixo:

conjtodos.gif (4782 bytes)

E com estes números a sociedade vive "muito bem, obrigado" até hoje. Quem sabe, com a evolução da matemática, novas necessidades poderão surgir e novos números aparecerão. Esperaremos ansiosos!! Falow!!

Exercícios:

  1. Diga a qual conjunto pertence os números:
a)

Este número pode ser representado por 355/10 então é RACIONAL e consequentemente REAL e COMPLEXO

b)

Este número é inteiro e positivo, então NATURAL e consequentemente INTEIRO, RACIONAL, REAL e COMPLEXO.

c)

Esta raiz não é exata, então, IRRACIONAL e consequentemente REAL e COMPLEXO

d)

Esta raiz é exata, e isto é igual a 12, então, NATURAL e consequentemente INTEIRO, RACIONAL, REAL e COMPLEXO

e)

Raiz de número negativo, que é igual a 9i, então, IMAGINÁRIO  e consequentemente COMPLEXO.

f)

Número multiplicado por unidade imaginária, IMAGINÁRIO e consequentemente COMPLEXO.

g)

Número real somado com um imaginário, COMPLEXO.

2) (FUVEST) P é uma propriedade relativa aos números naturais. Sabe-se que:

I) P é verdadeira para o natural n = 10;
II) se P é verdadeira para n, então P é verdadeira para 2n;
III) se P é verdadeira para n, n > 2, então P é verdadeira para n - 2.

Pode-se concluir que:

    (A) P é verdadeira para todo número natural n.
    (B) P é verdadeira somente para números naturais n, n ≥ 10.
    (C) P é verdadeira para todos os números naturais pares.
    (D) P é somente verdadeira para potências de 2.
    (E) P não é verdadeira para os números ímpares.


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