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Quando estivermos operando uma equação, diversas vezes encontraremos potências envolvidas no meio do cálculo.
Existem algumas regras que nos ajudam a mexer com estas potências.
Irei mostrar as propriedades uma a uma. Sempre ilustrando com um exemplo para tentar "demonstrar" de onde veio a regra.
| MULTIPLICAÇÃO DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE |
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Esta é a primeira propriedade pois é a mais utilizada de todas.
Por exemplo, se aparecer
o número 54 multiplicado por 53, |
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Esta é a operação que queremos efetuar.
Vamos abrir a potência |
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Agora veja que esta multiplicação é igual à 5 elevado
à potência sete. Este 7 veio da soma dos 4 fatores de 54 com os 3 fatores de 53 |
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Daqui nós tiramos a regra para qualquer multiplicação
de potências com mesma base.
Conserva-se a base e soma-se o expoente. Genericamente temos: |
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Esta é a regra. "X" pode ser qualquer
número (real, imaginário...), que a regra continuará valendo.
Conserva-se a base e soma-se os expoentes.
É muito importante entendê-la, pois
é muito utilizada.
Note que a base deve ser a mesma nos fatores, e ela que aparecerá no produto. |
| DIVISÃO DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE |
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O mesmo raciocínio mostrado para a multiplicação, pode ser aplicado para a divisão.
O exemplo será 126 divididos por 122: |
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Esta é a divisão que queremos efetuar.
Vamos novamente abrir a potência. |
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Agora podemos cortar os termos semelhantes
que estão acima e abaixo da fração.
Portanto podemos cortar dois fatores 12 de cima
com dois fatores 12 de baixo. |
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Ao cortar, estaremos retirando 2 unidades da potência de cima. Estas duas unidades são referentes ao expoente 2 da potência de baixo. |
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Veja que esta multiplicação é igual à 124 , isto nos dá a regra para qualquer divisão de potências com mesma base.
Conserva-se a
base e subtrai-se os expoentes.
Genericamente, temos: |
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Novamente, "X" pode ser
qualquer número (real, imaginário...) que a regra ainda vale. Estas são as duas regras
mais utilizadas. |
| MULTIPLICAÇÃO DE POTÊNCIAS DE MESMO EXPOENTE |
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Até agora vimos multiplicação e divisão
com termos de mesma base. E quando não tiver mesma base??? O que podemos fazer?
Só podemos efetuar uma operação quando tivermos mesma
base ou mesmo expoente. O que vamos ver agora é justamente o segundo caso: expoentes
iguais.
O exemplo será 65multiplicados por 95:
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Este é o exemplo. Agora vamos abrir as
potências. |
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Qualquer multiplicação tem a propriedade de
comutatividade, ou seja, se invertermos a ordem de multiplicação o valor não se altera.
Então vamos colocar esta multiplicação em outra ordem. |
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Agora temos a multiplicação 6 · 9
aparecendo 5 vezes. Então |
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E esta propriedade podemos aplicar para
qualquer número.
Conserva-se o expoente e multiplica-se a base.
Generalizando: |
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Os números "X" e "Y" podem ser quaisquer números do conjunto dos complexos. |
| DIVISÃO DE POTÊNCIAS DE MESMO EXPOENTE |
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O mesmo raciocínio mostrado para a multiplicação, pode ser aplicado para a divisão.
O exemplo será 84 divididos por 54: |
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Este é o exemplo que iremos
usar. Vamos abrir as potências. |
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Como temos multiplicação em
cima e em baixo da fração, podemos separar em 4 frações multiplicadas uma pela outra. |
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E isto é a fração elevado
na potência 4. |
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E esta propriedade pode se
aplicar para quaisquer números do conjunto dos complexos. Generalizando, |
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Os números "X" e "Y" podem ser quaisquer números do conjunto dos números complexos.
Conserva-se o expoente e divide-se as bases. |
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Já vimos as principais propriedades de operações.
Agora vamos ver quando tivermos uma potência de um número que já tem uma potência.
Veja o exemplo:
(42)3
O que devemos fazer?
Vamos desenvolver este exemplo: |
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Vamos abrir a potência de dentro do
parênteses |
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Agora a potência fora do parênteses diz que
devemos multiplicar o que tem dentro do parênteses três vezes, |
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E isso nos dá a potência 46. E
agora tiramos outra regra para potências. |
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Generalizando, ficamos com: |
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Onde "a" e "b" podem ser quaisquer números do conjunto dos complexos.
Potência de potência, multiplica-se os expoentes. |
ATENÇÃO |
Quando tivermos um número negativo elevado numa
potência, devemos tomar a seguinte precaução, veja os exemplo:
(-5)2 = (-5) · (-5) = +25 |
| (-2)4 = (-2) · (-2) · (-2) · (-2) = +16 |
Note, então, que quando temos um número
negativo elevado em qualquer expoente PAR este se comporta como se fosse
positivo, pois na multiplicação "menos com menos dá mais":
| (-5)2=52=25 |
| (-2)4=24=16 |
| Se "k" for PAR (-X)k=Xk |
E se tivermos um expoente ímpar?
(-5)3=(-5)·(-5)·(-5) |
Se pegarmos os dois primeiro números multiplicados, temos (-5)2=+25, substituindo ao lado: |
(-5)3=25·(-5)=-125 |
Sempre que tivermos um número negativo elevado em qualquer expoente ÍMPAR, o sinal negativo permanece na resposta |
PEGA-RATÃO |
| (-5)2 é totalmente diferente de -52 . No primeiro caso o sinal de menos também está elevado ao quadrado, então a resposta
é +25. Já no segundo caso, o menos não está elevado ao quadrado, somente o 5, portanto
a resposta é -25. |
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Para representar números muito grandes ou
até mesmo efetuar cálculos com eles, é utilizado potências com algumas bases fixas.
Uma das bases mais utilizadas é a base DEZ. No tópico após "Radiciação"
iremos estudar esta base.
Agora iremos ver propriedades semelhante a esta, mas para
radiciação. Clique na seta "avançar" abaixo e continue estudando.
Todas estas fórmulas você encontra, para referência
rápida, no item resumo do menu lá em cima da página.
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