Probabilidade
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Uma profissão que se utiliza muito da teoria das probabilidades, é o de Estatístico (claro que em um nível mais alto). Um dos possíveis cálculos que um Matemático Estatístico poderia fazer, que seria de muita valia para cultura geral, é o cálculo da probabilidade de ganhar nos principais jogos de loteria do Brasil.

Inclusive, o estudo desta teoria iniciou justamente para ser possível este tipo de cálculo que iremos demonstrar aqui.

Como as regras do jogo das diferentes loterias seguem uma certa linearidade, podemos utilizar uma fórmula geral para cálculo das probabilidades em qualquer que seja o jogo.

Neste tópico iremos explicar de onde veio esta fórmula! Veja ela abaixo:


Vamos chamá-la no decorrer da explicação de:
"FÓRMULA (1)"
a = Total de números disponíveis para apostar.
b = Total de números sorteados.
k = Total de números que iremos apostar.
i = Total de números que se deve acertar para ganhar tal prêmio.
= Combinação de "n" elementos tomados "p" a "p".

Exemplo de aplicação:
Qual a probabilidade acertar 5 dezenas no jogo da mega sena apostando um jogo simples?

a = 60 k = 6 (aposta simples)
b = 6 i = 5

Bilhetes na mão, e BOA SORTE!! :)


Como dito anteriormente, uma probabilidade é calculada pelo princípio:

Esta acima é a fórmula.
Veja abaixo usando termos mais simples:

Vamos começar pelo "número de casos possíveis" (espaço amostral), pois é sempre mais fácil de calcular.

Pense comigo: em um jogo, temos disponíveis 100 dezenas para apostar, e será sorteada 5 delas. Para saber quantos elementos possui o espaço amostral, devemos saber quantos grupos de 5 elementos podemos formar com os 100 disponíveis! Utilizando análise combinatória temos a COMBINAÇÃO de 100 elementos tomados 5 a 5.

Se, em uma outra situação, os valores em questão fossem outros, o raciocínio estaria totalmente correto. Deveríamos apenas trocar na fórmula os valores antigos pelos valores novos.

Portanto, chamando de "a" o número de dezenas disponíveis no cartão para apostarmos, e de "b" o número de dezenas que serão sorteadas, teríamos: .

Veja que é justamente este número que aparece no denominador da fórmula (1), pois este é o n(S).


Agora vem o mais difícil, chegar ao "Número de casos favoráveis".

Vamos pegar uma situação: temos um jogo onde apostamos 10 dezenas e são sorteadas 6. Para acertar todas, o número de casos favoráveis deve ser o número de grupos de 6 elementos que podemos formar com os 10 que apostamos. Utilizando análise combinatória calculamos COMBINAÇÃO de 10 elementos tomados 6 a 6 e pronto!

Se os valores fossem outros, o raciocínio estaria correto, só deveríamos trocar os valores!

Portanto, chamando de "k" o número de dezenas que iremos apostar, e de "i" o número de dezenas que se deve acertar para ganhar o prêmio teríamos COMBINAÇÃO de "k" elementos tomados "i" a "i", ou seja, .

Só que este valor para o "número de casos possíveis"  só é válido quando estamos pensando no caso de o número de dezenas que devemos acertar ser igual ao número de dezenas sorteadas e o número de dezenas apostadas ser igual ao número de dezenas sorteadas. Ou seja, a=k e b=i. Por exemplo, na megasena são sorteados 6 dezenas, mas você pode ganhar acertando apenas 5 destas 6. Portanto, não poderíamos utilizar a fórmula que temos até agora. Está faltando uma parte!

Pois veja só. Se num jogo com 60 dezenas disponíveis apostamos 15 das quais 6 serão sorteadas e queremos ver a probabilidade de ganhar acertando 4. Bom, para saber o número de casos possíveis você deve estar pensando: "é só fazer a combinação de 6 dezenas que eu apostei tomadas 4 a 4".

Pensem comigo. Se eu apostei 6 dezenas, e quero ver as possibilidades de ganhar acertando 4 dezenas, quer dizer que as outras duas dezenas que eu errei podem ser quaisquer outros números que não tenham sido sorteados. Veja o exemplo de um jogo abaixo:

02 05 08 32 X Y
Estes números eu acertei Estes eu errei
(podem ser quaisquer dois)

As possibilidades de grupos de 4 das dezenas em verde já estão sendo calculadas pelo termo . Agora, para cada grupo de 4 dos verdes devemos saber quantas duplinhas para as dezenas em vermelho iremos conseguir criar.
Os números disponíveis para pertencerem à esta duplinha serão todos que não foram sorteados, no nosso exemplo dos 60 foram sorteados 6, portanto, estarão disponíveis para esta dupla 54, ou seja, (a - k). E estes números deverão ser combinados 2 a 2 (no nosso exemplo), ou seja, (b - i).

Então, teremos combinação de 54 tomados 2 a 2. Mas, pensando genericamente teremos .

Como sabemos que para cada grupo de 4 dezenas para os lugares verdes, teremos dezenas para os lugares vermelhos, multiplicamos estes valores para achar o número total de combinações favoráveis para acertar 4 dezenas. Por isso que:

Que é justamente o que aparece no numerador da Fórmula (1)!

Poxa, comprida esta demonstração. Né???

 

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