07 – Exercícios Resolvidos

1) O valor positivo de x que torna a sucessão uma PG é

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)


2) (UFRGS) Numa PG de razão positiva, o primeiro termo é igual ao dobro da razão, e a soma dos dois primeiros é 24. Nessa progressão a razão é

(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5


3) O valor de x para que a seqüência seja uma PG é

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)


4) O conjunto solução da equação é

(A) 10
(B) 15
(C) 20
(D) 25
(E) 30


5) A soma dos termos de uma PG é expressa por . A razão da progressão é

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)


6) A soma de três números que formam uma PG crescente é 19 e, se subtrairmos 1 do primeiro, sem alterar os outros dois, eles passam a constituir uma PA. A diferença entre a soma dos dois primeiros números e o terceiro é:

(A) -2
(B) -1
(C) 0
(D) 1
(E) 2


7) A seqüência é uma progressão geométrica, de termos positivos, cuja razão é

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)


8) A soma dos termos da PG (5, 50, …, 500000) é

(A) 222 222
(B) 333 333
(C) 444 444
(D) 555 555
(E) 666 666


9) Ao interpolarmos 5 meios geométricos entre 1458 e 2, encontramos uma PG de razão:

    (A)

(B)

(C)

(D)

(E)


10) A razão de uma PG cujo termo geral é é

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)


11) (PUC) De acordo com a disposição dos números abaixo,

exepa12.gif (1430 bytes)

    A soma dos elementos da décima linha vale:

    (A) 2066
(B) 5130
(C) 10330
(D) 20570
(E) 20660


12) (FUVEST) Seja (an) uma progressão geométrica de primeiro termoa1 = 1 e razão , onde q é um número inteiro maior que 1. Seja (bn) uma progressão geométrica cuja razão é q. Sabe-se que a11 = b17. Neste caso:

a) Determine o primeiro termo b1 em função de q.

b) Existe algum valor de n para o qual an = bn?

c) Que condição n e m devem satisfazer para que an = bm?


13) (UERJ) A figura a seguir mostra um molusco Triton tritoris sobre uma estrela do mar.

Um corte transversal nesse molusco permite visualizar, geometricamente, uma seqüência de semicírculos. O esquema abaixo indica quatro desses semicírculos.

Admita que as medidas dos raios formem uma progressão tal que

Assim, considerando , a soma será equivalente a

(A)
(B)
(C)
(D)


14) (UFRGS) Numa progressão aritmética de razão 1/2, o primeiro, o sétimo e o décimo nono termo formam, nesta ordem, uma progressão geométrica cuja soma dos termos é

(A) 17.
(B) 18.
(C) 19.
(D) 20.
(E) 21.


GABARITO
01-D 04-C 07-C 10-A 13-D
02-C 05-B 08-D 11-C
03-C 06-D 09-B 12 –

 

RESOLUÇÃO

1) O valor positivo de x que torna a sucessão uma PG é    (A)

    (B)

    (C)

    (D)

    (E)

 

– Vamos usar a propriedade fundamental de uma PG para calcular o valor de “x”.

Como o exercício pede só o valor positivo, a resposta é letra “D”.


2) (UFRGS) Numa PG de razão positiva, o primeiro termo é igual ao dobro da razão, e a soma dos dois primeiros é 24. Nessa progressão a razão é

    (A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5

– As informações do problema são:
    a1=2q    S2=24     q=?

– Sabemos que S2=a1+a2 e iremos trabalhar em cima disto. Usando a fórmula do termo geral para o segundo termo, temos:
    a2=a1·q   Vamos substituir o valor de a1 por 2q.
a2=2q·q
a2=2q2

– Voltando à nossa fórmula de trabalho:
S2=a1+a2     Vamos substituir os valores conhecidos
    24=2q+2q2
2q+2q2-24=0   
Chegamos numa equação do segundo grau, usando Bhaskara:
q’=3    q”=-4      Como o exercício diz que a razão é positiva,
Resposta certa, letra “C”.


3) O valor de x para que a seqüência seja uma PG é

    (A)

    (B)

    (C)

    (D)

    (E)

– Novamente iremos utilizar a propriedade fundamental de uma PG:

– Desenvolvendo esta equação:
       Resposta certa, letra “C”.


4) O conjunto solução da equação é

    (A) 10
(B) 15
(C) 20
(D) 25
(E) 30

– Note que o lado esquerdo da igualdade é uma PG, com a1=x e q=1/3. Como todos os termos estão sendo somados, temos uma soma infinita desta PG. Vamos utilizar a fórmula de soma infinita:

– Vamos voltar a equação do exercício e substituir o valor recém calculado:

Resposta certa, letra “C”.


5) A soma dos termos de uma PG é expressa por . A razão da progressão é

    (A)

    (B)

    (C)

    (D)

    (E)

– O exercício dá a fórmula geral das soma dos “n” primeiros termos e pede sua razão. Para calcular a razão devemos calcular a1 e a2para dividirmos e descobrir sua razão.

– Se substituirmos o valor de “n” por 1, iremos calcular a soma dos 1 primeiros termos, ou seja, o próprio primeiro termo:
S1= -3+31+1
    S1= -3+32
    S1= -3+9
    S1= 6
a1=6

– Se substituirmos “n” por 2, iremos calcular a soma dos 2 primeiros termos, ou seja, a1+a2.
S2= -3+32+1
S2= -3+33
S2= -3+27
S2= 24

– Substituino o que vale S2, temos:
    S2= 24
a1+a2=24
6+a2=24
a2=24-6
a2=18

Agora dividindo o segundo pelo primeiro termo temos a razão:

         Resposta certa, letra “B”.


6) A soma de três números que formam uma PG crescente é 19 e, se subtrairmos 1 do primeiro, sem alterar os outros dois, eles passam a constituir uma PA. A diferença entre a soma dos dois primeiros números e o terceiro é:

    (A) -2
(B) -1
(C) 0
(D) 1
(E) 2

– Informações
PG={a1,a2,a3}         a1+a2+a3=19
PA={(a1-1),a2,a3}

– Agora com estas três informações conseguimos estruturar três equações e formar um sisteminha. Com a propriedade fundamental de uma PG tiramos a seguinte equação:

– Com a propriedade fundamental de uma PA tiramos a próxima equação:

– E a terceira equação já é dada, a1+a2+a3=19. Formando o sistema:

– Um sistema de três equações é um pouco mais demorado de se resolver, mas vamos lá! Primeiro vamos isolar o valor de a1 na terceira equação e substituir na segunda:

a1=19-a2-a3

Agora vamos substituir este valor na segunda equação e ver no que dá.

a2-(19-a2-a3-1)=a3-a2
a2-19+a2+a3+1=a3-a2

Veja que podemos cortar os termos a3 , pois temos ambos somando dos dois lados da equação
a2-19+a2+1=-a2 Agora podemos calcular o valor de a2. Vamos isolá-lo.
a2+a2+a2=+19-1
3a2=+18
a2=18/3
a2=6
Descobrimos o valor do a2. Vamos voltar na primeira equação deste quadro e substituir o valor dele.

a1=19-6-a3
a1=13-a3

Temos a1 em função de a3, vamos substituir na primeira equção do sistema.

Agora é só operar e calcular o valor de a3.

36=a3·(13-a3)
36=13a3-(a3)2
(a3)2-13a3+36=0

Caímos em uma equação do segundo grau de variável a3 , vamos aplicar Bhaskara.
O problema diz que é uma PG crescente, portanto, se a2=6 então o a3 tem que ser maior que 6. Vale só a resposta a3=9. Para calcular o a1 voltamos à primeira equação deste quadro.

a1=19-a2-a3
a1=19-6-9
a1=4

UFA, tá quase no fim. O exercício pede a diferença entre a soma dos dois primeiros números e o terceiro, portanto:

(a1+a2)-a3
(4+6)-9
10-9
1

Resposta certa, letra “D”


7) A seqüência é uma progressão geométrica, de termos positivos, cuja razão é

    (A)

    (B)

    (C)

    (D)

    (E)

– Nosso primeiro passo é achar o valor de “x”, para depois substituir na progressão e achar a razão.

– Para calcular o “x” vamos usar a propriedade fundamental de uma PG:

– Agora é só desenvolver e calcular o valor de “x”.
(5x-3)·(x+3)=x·8x
    5x2+15x-3x-9=8x2
5x2-8x2 +12x-9=0
-3x2+12x-9=0   
Chegamos em uma equação do segundo grau, aplicando Bhaskara:

Com isso as nossa raízes são 1 e 3. Qual delas é a que vale? Se substituirmos na PG do exercício o x por 1 teremos uma sequência que não é uma PG. Portanto, o valor de x é 3.

– Sabendo o valor de “x” vamos substituir na PG e ver como ela é:
    (8x, 5x-3, x+3, x)
(8·3, 5·3-3, 3+3, 3)
(24, 12, 6, 3)
    Esta é a PG

– Agora para achar a razão, dividimos o segundo pelo primeiro termo:
        Resposta certa, letra “C”.


8) A soma dos termos da PG (5, 50, …, 500000) é

    (A) 222 222
(B) 333 333
(C) 444 444
(D) 555 555
(E) 666 666

– Para podermos aplicar a fórmula da soma dos termos de uma PG, devemos saber qual ordem do número 500000 (tercerio, quarto, décimo…). Ou seja, devemos calcular o valor de “n”.

– Informações:
a1=5    q=10    an=500000

– Vamos aplicar a fórmula do termo geral:
an=a1·q(n-1)      Substituindo seus valores
500000=5·10(n-1)
500000=5·10(n-1)
5·100000=5·10(n-1)
5·105=5·10(n-1)
105=10(n-1) Agora podemos cortar as bases
5=n-1
n=6

– Agora sim, o termo 500000 é o sexto termo, podemos aplicar a fórmula da soma:

Resposta certa, letra “D”.


9) Ao interpolarmos 5 meios geométricos entre 1458 e 2, encontramos uma PG de razão:

    (A)

    (B)

    (C)

    (D)

    (E)

– Informações do problema:

1458 __ __ __ __ __ 2

a1=1458    a7=2     q=?

– Esta é a parte mais difícil do problema, ver que o 2 é o sétimo termo. Agora é só aplicar a fórmula do termo geral para o a7.

   Como é um expoente PAR, ao “passa-lo” para o outro lado como raiz, deve-se incluir o sinal de ±. Resposta certa letra “B”.


10) A razão de uma PG cujo termo geral é é

    (A)

    (B)

    (C)

    (D)

    (E)

– Para calcular-mos a razão, devemos saber no mínimo o primeiro e o segundo termo. Substituindo n por 1 e por 2 na fórmula do termo geral dada, temos:

– Agora, já sabendo a1 e a2, podemos calcular a razão:

   Resposta certa, letra “A”.


11) (PUC) De acordo com a disposição dos números abaixo,

exepa12.gif (1430 bytes)

    A soma dos elementos da décima linha vale:

    (A) 2066
(B) 5130
(C) 10330
(D) 20570
(E) 20660

– Questão muito bem elaborada! Note que cada linha desta “pirâmide” é uma PA de razão 2. Cada linha tem um elemento a mais do que a linha anterior, sendo que sua ordem é igual ao número de termos (a segunda tem 2 termos a quinta tem 5 termos a décima tem 10 termos).
Veja também que a primeira coluna (que determina o primeiro elemento de cada linha) segue como uma PG de razão 2 e a1=2. Então, o primeiro termo da décima linha será (a10):

a10=a1·q9
a10=2·29
a10=1024

– A décima linha será uma PA com a1=1024 r=2 e terá 10 termos. Antes de calcularmos a soma (que o exercício pede) devemos calcular o valor do décimo termo desta PA:

a10=a1+9·r
a10=1024+9·2
a10=1024+18
a10=1042

– Portanto, a soma dos termos (de acordo com a fórmula):

S10=(a1+a10)·10/2
S10=(1024+1042)·5
S10=(2066)·5
S10=10330  
Resposta certa, letra “C”.


GABARITO
01-D 04-C 07-C 10-A
02-C 05-B 08-D 11-C
03-C 06-D 09-B