02 – Termo Geral

Para um melhor estudo de PA’s, vamos agora dar “nome aos bois”. Como exemplo, vamos usar a progressão dada anteriormente:

(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17…)

O primeiro termo desta PA é 1, o segundo é 3, e assim por diante. Para não desperdiçar lápis e papel, cada termo de uma PA tem seu nome: o primeiro é chamado, normalmente, de a1, o segundo de a2, o terceiro de a3 e assim sucessivamente. Então, nesta PA:

a1 = 1
a2 = 3
a3 = 5
a4 = 7

O número que aparece no nome do elemento é a “ordem” dele. Ou seja, a1 é o primeiro, a2 é osegundo, etc.

Quando temos um termo que não sabemos sua posição, chamamos de an, onde “n” é a posição ocupada pelo termo em questão. Este é o termo geral, pois pode ser qualquer um.

Voltando ao exemplo.

(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17…)

Como é uma PA, segue um “ritmo definido” (ritmo este que é a soma de 2 unidades a cada elemento que acrescentamos). Este ritmo também tem um nome: se chama RAZÃO e é representada por “r”minúsculo. Portanto, o segundo termo será a soma do primeiro mais a razão; o terceiro será a soma do segundo mais a razão…

Vemos no nosso exemplo que cada próximo termo da progressão é acrescido de 2 unidades, portanto r = 2.

QUADRO 1
a1 = 1 = 1
a2 = 3 = 1 + 2
a3 = 5 = 1 + 2 + 2
a4 = 7 = 1 + 2 + 2 + 2
a5 = 9 = 1 + 2 + 2 + 2 + 2
QUADRO 2
a1 = =  a1
a2 = =  a1 + r
a3 = =  a1 + r + r
a4 = =  a1 + r + r + r
a5 = =  a1 + r + r + r + r

No quadro 2 acima, vemos que cada termo que aumentamos,
colocamos mais uma vez a soma da razão. Vamos rescrever os valores do
quadro 2:

QUADRO 2
a1 = = a1 a1= a1 + 0.r
a2 = = a1 + r a2 = a1 + 1.r
a3 = = a1 + r + r a3 = a1 + 2.r
a4 = = a1 + r + r + r a4 = a1 + 3.r
a5 = = a1 + r + r + r + r a5 = a1 + 4.r
 …

Note, na coluna destacada, que sempre irá aparecer o primeiro termo (a1) somado com algumas vezes a razão. Há uma relação entre a posição do termo e o número de vezes que a razão aparece (os números grifados em verde no quadro), tente achar esta relação e diga, como seria o termo a22?

Isso mesmo, a22= a1 + 21.r.

Ou seja, se no terceiro termo temos 2 vezes a razão, no quarto termo temos 3, etc. A relação entre tais valores é que o número de vezes que a razão irá aparecer é uma unidade a menos que a ordem do elemento.

Portanto, se quisermos achar o termo de ordem “n” (termo genérico), iremos somar o a1 com (n-1) vezes a razão. Podemos mostrar uma “fórmula” para calcular qualquer termo de uma P.A.:

an = a1 + (n – 1).r

Obs.: Uma PA é dita estacionária quando sua razão vale ZERO.


Exercícios:

Qual a razão em cada uma das progressões abaixo?

(A)  ( 1, 2, 3, 4, … )
(B)  ( 10, 17, 24, … )
(C)  ( -5, -4, -3, …)
(D)  ( 10, 1, -8, …)
(E)  ( -5, -10, -15, …)
(F)  ( 1/2, 1, 3/2, …)
(G)  ( x, x+2, x+4, …)

Respostas:
1 (A)
7 (B)
1 (C)
-9 (D)
-5 (E)
1/2 (F)
2 (G)


Clique na seta “avançar” para ver alguns exercícios de vestibular sobre esta matéria. Tente resolvê-los sem ver a solução apresentada logo abaixo. Se você não conseguir resolver sozinho, não se desespere, é normal não conseguir em uma primeira tentativa.
Leia a primeira resolução e tente o segundo exercício. Não deu! Tenta o próximo, e assim por diante 🙂

BONS ESTUDOS!!