04 – Soma dos “n” Primeiros Termos

Em um vestibular, pode também ser pedido que você calcule a soma dos termos de uma PA. Pode ser pedido a soma dos 25 primeiros termos, ou dos 200 primeiros termos.

Estas somas são simbolizadas por S25 (soma dos 25 primeiros termos), por S200 (soma dos 200 primeiros termos) ou por Sn (soma dos “n” primeiros termos). Vamos ver um exemplo:

(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19)

Esta progressão possui 10 termos, com a1=1, a10=19 e r=2. Se quiséssemos saber a soma dos 10 primeiros termos desta PA, poderíamos calcular manualmente, ou seja,1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100. Mas, se fosse pedido a soma dos 145 primeiros termos?? BAH, manualmente iria demorar muito.

Vamos ver se existe uma maneira mais prática.

Observe quanto vale a soma do primeiro com o último termo desta PA:

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Agora, veja a soma do segundo com o penúltimo:

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E a soma do terceiro com o antepenúltimo, do quarto com o antes do antepenúltimo …

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Note, que a soma 20 apareceu exatamente 5 vezes. Ao invés de somar termo a termo, poderíamos somar 5 vezes o 20, ou seja, 5×20=100 (mesmo resultado).

Agora, pense!!! Por que que apareceu cinco vezes a soma = 20?????

Isto mesmo, pois tínhamos 10 termos, e como pegamos eles de 2 em 2, é óbvio que a soma iria aparecer um número de vezes igual a metade do número de termos!

E agora, se fosse uma progressão com 100 elementos? Deveríamos proceder da mesma maneira!
A soma do primeiro com o último iria se repetir por 50 vezes (metade de 100), portanto, matematicamente falando teríamos:

S100=(a1+a100).50

Para concluir. Se tivéssemos que calcular a soma dos elementos de uma PA com “n” termos?  A soma do primeiro com o último iria se repetir por n/2 vezes. Ou seja, podemos escrever:

Dê uma olhada nos exercícios abaixo e veja como é fácil:


1) O primeiro termo de uma PA é 100 e o trigésimo é 187. Qual a soma dos trinta primeiros termos?

        – Informações do problema:
a1=100     a30=187    n=30    S30=?

        – Aplicando a fórmula da soma, temos:

               
S30 = (287) . 15
S30 = 4305


2) Sabendo que o primeiro termo de uma PA vale 21 e a razão é 7, calcule a soma dos 12 primeiros termos desta PA:

        – Informações do problema:
a1=21     r=7    S12=?

        – Colocando na fórmula da soma, vemos que está faltando um dado. Qual o valor de a12? Então antes de tudo devemos calcular o valor de a12.
a12=a1+(12-1)7
a12=21+77
a12=98

        – Agora sim, podemos colocar na fórmula da soma:
S12=(a1+a12)6
S12=(21+98)6
S12=119*6
S12= 714


3) A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada por Sn=n2+2n. O valor do 13o termo desta PA é:

    (A) 195
(B) 190
(C) 27
(D) 26
(E) 25

        – Este tipo de questão é clássica, pois tem um pega ratão horrível. Então, vamos esmigalhar ao máximo. Te liga só!
– Para calcularmos o 13o termo desta PA, devemos saber o valor do primeiro termo (a1) e o valor da razão, para isso vamos entender o que ele quis dizer com a fórmula dada.

        – À primeira vista você pode achar que se substituirmos “n” por 13 teremos o valor do 13o termo. Aí está o pega ratão, substitua e veja a resposta da letra “A” (pega ratão).
– O que devemos fazer é substituir primeiro “n” por 1, isso dá
S1=12+2.(1)
            S1=3
Como S1 significa a soma de todos os termos até a1, ou seja, como não tem nenhum antes de a1 é o próprio valor dele (a1=3)
Se substituirmos “n” por 2, temos:
S2=22+2.(2)
S2=8

        – Agora tem que se ligar. S2 significa a soma de todos os termos até a2, então é igual à a1+a2. Como já sabemos o valor de a1,logo:
S2=a1+a2=8
3+a2=8
a2=5

        Se a1=3 e a2=5 a razão só pode ser 2. Agora podemos achar o 13o termo, é só substituir na fórmula do termo geral:

an=a1+(n-1)r
a13=3+(13-1)2
a13=3+24
a13=27    Resposta certa letra “C”


Existe uma curiosidade sobre uma soma especial: a soma dos quadrados dos “n” primeiros números naturais.