06 – Exercícios para Fixação – Progressões Aritméticas

1) O sétimo termo de uma PA é [tex3]20[/tex3] e o décimo é [tex3]32[/tex3]. Então o vigésimo termo é:
(A) 60
(B) 59
(C) 72
(D) 80
(E) 76


2) O único valor de [tex3]x[/tex3] que verifica a equação [tex3](x-2)+(x-5)+(x-8)+…+(x-47)=424[/tex3] é
(A) 51
(B) 41
(C) 31
(D) 61
(E) 71


3) (PUC-RS) Na sequencia definida por [tex3]a_n=\frac{5n-1}{2}[/tex3], a soma dos [tex3]10[/tex3] primeiros termos é igual a:
(A) [tex3]\frac{53}{2}[/tex3]
(B) [tex3]\frac{265}{2}[/tex3]
(C) [tex3]53[/tex3]
(D) [tex3]265[/tex3]
(E) [tex3]530[/tex3]


4) (UFRGS) Os números que exprimem o lado, a altura e a área de um triângulo equilátero estão em PA, nessa ordem. A altura desse triângulo mede
(A) [tex3]\frac{\sqrt{3}-1}{2}[/tex3]
(B) [tex3]\sqrt{3}-1[/tex3]
(C) [tex3]2(\sqrt{3}-1)[/tex3]
(D) [tex3]4-\sqrt{3}[/tex3]
(E) [tex3]4+\sqrt{3}[/tex3]


5) (UFRGS) A PA [tex3](a_1,\,a_2,\, a_3,\,\ldots)[/tex3] tem razão [tex3]r[/tex3]. A razão da progressão definida por [tex3]b_n=a_{5n}[/tex3] é
(A) [tex3]r[/tex3]
(B) [tex3]r+5[/tex3]
(C) [tex3]5r[/tex3]
(D) [tex3]r-5[/tex3]
(E) [tex3]r/5[/tex3]


6) (ULBRA) O número de termos de uma PA, cuja razão é 9, o primeiro termo é 4 e o último 58, é
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 6
(E) 7


7) A soma dos 40 primeiros números naturais é igual a
(A) 400
(B) 410
(C) 670
(D) 780
(E) 800


8) (UFCE) Um atleta corre sempre 400 metros a mais que no dia anterior. Ao final de 11 dias ele percorre um total de 35200 metros. O número de metros que ele correu no último dia foi igual a
(A) 5100
(B) 5200
(C) 5300
(D) 5400
(E) 5500


9) (PUC) A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada por [tex3]S_n=3n^2+5n[/tex3]. A razão dessa PA é:
(A) 7
(B) 6
(C) 9
(D) 8
(E) 10


10) (UFRGS) Para [tex3]p[/tex3] e [tex3]q[/tex3] inteiros positivos, a soma dos cem primeiros múltiplos de [tex3]p[/tex3] é [tex3]A[/tex3] e a soma dos 100 primeiros múltiplos de [tex3]q[/tex3] é [tex3]B[/tex3]. O valor de [tex3]A+B[/tex3] é
(A) [tex3]200pq[/tex3]
(B) [tex3]200(p + q)[/tex3]
(C) [tex3]500(p + q)[/tex3]
(D) [tex3]5050(p + q)[/tex3]
(E) [tex3]5050pq[/tex3]


11) (PUC) A quantidade de meios aritméticos que se devem interpolar entre -a e 20a, a fim de se obter uma PA de razão 7, é
(A) [tex3]3a-2[/tex3]
(B) [tex3]3a-1[/tex3]
(C) [tex3]3a[/tex3]
(D) [tex3]3a+1[/tex3]
(E) [tex3]3a+2[/tex3]


12) (FUVEST) Do conjunto de todos os números naturais [tex3]n[/tex3], [tex3]n \le 200[/tex3], retiram-se os múltiplos de 5 e, em seguida, os mútiplos de 6. Calcule a soma dos números que permanecem no conjunto.


13) (UFSM) Tisiu ficou sem parceiro para jogar bolita (bola de gude); então pegou sua coleção de bolitas e formou uma sequência de “T” (a inicial de seu nome), conforme a figura:


Supondo que o guri conseguiu formar 10 “T” completos, pode-se, seguindo o padrão, afirmar que ele possuía:
(A) mais de 300 bolitas.
(B) pelo menos 230 bolitas.
(C) menos de 220 bolitas.
(D) exatamente 300 bolitas.
(E) exatamente 41 bolitas.


GABARITO
01 – C 02 – A 03 – B
04 – C 05 – C 06 – E
07 – D 08 – B 09 – B
10 – D 11 – B 12 –
13 – B

RESOLUÇÃO

1) O sétimo termo de uma PA é [tex3]20[/tex3] e o décimo é [tex3]32[/tex3]. Então o vigésimo termo é:
(A) 60
(B) 59
(C) 72
(D) 80
(E) 76

– Informações do problema:
a7=20     a10=32     a20=?

– Primeiro vamos colocar todos termos conhecidos na fórmula do termo geral:
a7=a1+6r    a10=a1+9r
20=a1+6r    32=a1+9r

– Formamos um sistema de equações e resolvemos:

 

20=a1+6r
32=a1+9r

       Vamos isolar o termo a1na primeira equação

a1=20-6r

       Agora vamos substituir este valor na segunda equação

32=20-6r+9r
32-20=9r-6r
12=3r
r=12/3
r=4

       Agora sabemos o valor da razão, podemos substituir na primeira equação e achar o valor do a1.

20=a1+6·4
20=a1+24
a1=-24+20
a1= -4

        Pronto!! Sabemos a razão e o primeiro termo. O exercício pedi o vigésimo. Vamos aplicar a fórmula do termo geral.

a20=a1+19r
a20=-4+19·4
a20=-4+19·4
a20=72

Resposta certa letra “C”.

 


2) O único valor de [tex3]x[/tex3] que verifica a equação [tex3](x-2)+(x-5)+(x-8)+…+(x-47)=424[/tex3] é
(A) 51
(B) 41
(C) 31
(D) 61
(E) 71

– Note que temos uma PA no lado esquerdo da equação com:
a1= (x-2)
a2= (x-5)

Sabemos que é uma PA pois a cada termo estamos somando uma mesma constante (a razão, que no caso é -3). Para descobrir esta razão simplesmente fazemos:

 

   r=a2-a1=(x-5)-(x-2)
    r=x-5-x+2 Menos com menos dá mais, por isso temos +2
    r=-5+2 X com -X se anulam
    r=-3 Esta é a razão

 

– Como os termos estão sendo somados, devemos usar a fórmula da soma dos termos de uma PA. Já sabemos o primeiro termo, o último termo e a razão, mas para usar a fórmula da soma devemos saber o número de termos (ou seja, “n”). Para calcularmos vamos aplicar a fórmula do termo geral no último termo:

an=a1+(n-1)r      Substituindo por seus valores
(x-47)=(x-2)+(n-1)·(-3)
x-47-x+2= -3n+3
-45-3= -3n
-3n=-48
n=48/3
n=16

– Agora sim podemos usar a fórmula da soma:
Sn=(a1+an)*n/2
Sn=[(x-2)+(x-47)]*16/2
Sn=(2x-49)*8
Sn=16x-392

– Vamos voltar na equação do exercício e substituir todo lado esquerdo da equação pelo valor calculado:
(x-2)+(x-5)+(x-8)+…+(x-47)=424
16x-392=424
16x=424+392
16x=816
x=816/16
x=51   
Resposta certa, letra “A”


3) (PUC-RS) Na sequencia definida por [tex3]a_n=\frac{5n-1}{2}[/tex3], a soma dos [tex3]10[/tex3] primeiros termos é igual a:
(A) [tex3]\frac{53}{2}[/tex3]
(B) [tex3]\frac{265}{2}[/tex3]
(C) [tex3]53[/tex3]
(D) [tex3]265[/tex3]
(E) [tex3]530[/tex3]

– O exercício dá a fórmula do termo geral de uma PA e pede S10. Utilizaremos a fórmula da soma, mas para usá-la devemos saber a1e a10. Estes valores iremos calcular com a fórmula dada pelo exercício:

[tex3]a_1=\frac{5\cdot 1-1}{2}\\a_1=\frac{4}{2}=2[/tex3]

[tex3]a_{10}=\frac{5\cdot 10-1}{2}\\a_{10}=\frac{49}{2}[/tex3]

– Agora é só aplicar a fórmula da soma:

[tex3]S_{10}=\frac{(a_1+a_{10})\cdot n}{2}\\S_{10}=\frac{\left(2+\frac{49}{2}\right)\cdot 10}{2}\\S_{10}=\left(\frac{4+49}{2}\right)\cdot+5\\S_{10}=\frac{265}{2}[/tex3]

Resposta certa, letra “B”.


4) (UFRGS) Os números que exprimem o lado, a altura e a área de um triângulo equilátero estão em PA, nessa ordem. A altura desse triângulo mede
(A) [tex3]\frac{\sqrt{3}-1}{2}[/tex3]
(B) [tex3]\sqrt{3}-1[/tex3]
(C) [tex3]2(\sqrt{3}-1)[/tex3]
(D) [tex3]4-\sqrt{3}[/tex3]
(E) [tex3]4+\sqrt{3}[/tex3]

– Para resolver este exercício devemos ter um conhecimento de Geometria Plana. Este capítulo iremos estudar mais adiante. Mas vamos chamar o lado do triângulo de “L”, a fórmula da altura de um triângulo equilátero é [tex3]\frac{L\sqrt{3}}{2}[/tex3] e a área de um triângulo equilátero é [tex3]\frac{L^2\sqrt{3}}{4}[/tex3]. Então, pelo que diz o problema, temos a seguinte PA:

[tex3]\left\{L,\,\,\,\frac{L\sqrt{3}}{2},\,\,\,\frac{L^2\sqrt{3}}{4}\right\}[/tex3]

– O problema pede o valor da altura, e para isso devemos antes achar o valor de L. Vamos utilizar a propriedade fundamental de uma PA:

[tex3]\frac{L\sqrt{3}}{2}-L=\frac{L^2\sqrt{3}}{4}-\frac{L\sqrt{3}}{2}\\\frac{2L\sqrt{3}-4L}{4}=\frac{L^2\sqrt{3}-2L\sqrt{3}}{4}\\L^2\sqrt{3}+2L\sqrt{3}+2L\sqrt{3}-4L=0\\L^2\sqrt{3}+4\sqrt{3}L-4L=0\\L\cdot(L\sqrt{3}+(4\sqrt{3}-4))=0[/tex3]

Chegamos em uma equação incompleta do segundo grau. Para facilitar os cálculos, coloquei o L em evidência.

Agora é só calcular as raízes, no caso são [tex3]L’=0[/tex3] e [tex3]L”=\frac{12-4\sqrt{3}}{3}[/tex3]. Como não podemos ter o valor de L como sendo ZERO, então vale só a segunda resposta.

O exercício pede a altura do triângulo, vamos aplicar a fórmula da altura (h):

[tex3]h=\frac{L\sqrt{3}}{2}=\frac{\left(\frac{12-4\sqrt{3}}{2}\right)\cdot\sqrt{3}}{2}\\h=\frac{12\sqrt{3}-12}{6}\\h=2\sqrt{3}-2[/tex3]

Nas resposta o problema coloca o 2 em evidência, assim sendo:

[tex3]h=2(\sqrt{3}-1)[/tex3]

Resposta certa, letra “C”.


5) (UFRGS) A PA [tex3](a_1,\,a_2,\, a_3,\,\ldots)[/tex3] tem razão [tex3]r[/tex3]. A razão da progressão definida por [tex3]b_n=a_{5n}[/tex3] é
(A) [tex3]r[/tex3]
(B) [tex3]r+5[/tex3]
(C) [tex3]5r[/tex3]
(D) [tex3]r-5[/tex3]
(E) [tex3]r/5[/tex3]

– Para calcularmos a razão da segunda PA devemos saber no mínimo dois termos em sequência desta PA. Vamos então calcular o primeiro e o segundo.

 

 

bn=a5n     então
b1=a5·1
b1=a5

 

 

bn=a5n     então
b2=a5·2
b2=a10

 

Agora que já sabemos que b1=a5 e b2=a10 vamos ver quanto vale a5 e a10 :

 

 

a5=a1+(5-1)r
a5=a1+4r  
então
b1=a1+4r

 

 

a10=a1+(10-1)r
a10=a1+9r  
então
b2=a1+9r

 

 

Para calcularmos a razão da PA “b” (vamos chamar de R maiúsculo) é só calcularmos b2-b1 :
b2-b1=a1+9r-(a1+4r)
b2-b1=5r
R=5r  
Resposta certa, letra “C”.


6) (ULBRA) O número de termos de uma PA, cuja razão é 9, o primeiro termo é 4 e o último 58, é
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 6
(E) 7

– Informações:
    r=9    a1=4    an=58     n=?– Vamos somente aplicar a fórmula do termo geral:
    an=a1+(n-1)r
58=4+(n-1)9
58-4=9n-9
54+9=9n
63=9n
n=63/9
n=7
    Resposta certa, letra “E”.

7) A soma dos 40 primeiros números naturais é igual a
(A) 400
(B) 410
(C) 670
(D) 780
(E) 800

– Podemos olhar para os números naturais como uma PA com a1=0 e r=1.
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7…}

Aqui tem um pega ratão! Para usar a fórmula da soma devemos saber que é o a40. Você pode achar que é o 40, mas não. Vamos calcular!
a40=a1+(40-1)·r
a40=0+(39)·1
a40=0+39
a40=39

Viu! Agora vamos aplicar a fórmula da soma.
S40=(0+39)·40/2
S40=39·20
S40=780  
Resposta certa, letra “D”.


8) (UFCE) Um atleta corre sempre 400 metros a mais que no dia anterior. Ao final de 11 dias ele percorre um total de 35200 metros. O número de metros que ele correu no último dia foi igual a
(A) 5100
(B) 5200
(C) 5300
(D) 5400
(E) 5500

– Informações:
    S11=35200    r=400

– Neste exercício iremos usar a fórmula da soma dos termos, mas para isso devemos calcular o valor de an em função de a1 e r. Calma lá, veja só:
    an=a1+(n-1)r
a11=a1+(11-1)r
a11=a1+10r   
sabemos que a razão é 400
a11=a1+10·400
a11=a1+4000

– Agora sim vamos colocar na fórmula da soma:

[tex3]S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot+n}{2}\\35200=\frac{(a_1+a_1+4000)\cdot+11}{2}\\35200=\frac{(2a_1+4000)\cdot+11}{2}\\70400=22a_1+44000\\22a_1=70400-44000\\22a_1=26400\\a_1=\frac{26400}{22}=1200[/tex3]

– Calculamos o valor de a1, agora é só substituir na fórmula de a11 para achar seu valor (pois é isso que o problema quer, o valor do último dia):
a11=a1+4000
a11=1200+4000
a11=5200   
Resposta certa, letra “B”.


9) (PUC) A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada por [tex3]S_n=3n^2+5n[/tex3]. A razão dessa PA é:
(A) 7
(B) 6
(C) 9
(D) 8
(E) 10

– Esta questão é clássica! Tem um pega-ratão tenebroso. O problema dá a fórmula geral da soma dos n primeiros termos de uma PA. Vamos substituir valores e achar os dois primeiros termos para calcularmos a razão (que é o que o problema pede).

– Se substituirmos o “n” por 1 teremos S1 que equivale dizer “a soma dos 1 primeiros termos”, ou seja, o próprio primeiro termo.
Sn=3n2+5n
S1=3·12+5·1
S1=3+5
a1=8

– Agora que tem o pega-ratão! Se substituirmo “n” por 2 teremos a soma dos 2 primeiros termos, ou seja, a1+a2:

    S2=3·22+5·2
    S2=3·4+10
    S2=12+10
    S2=22

– Lembre-se que este é o valor de a1+a2 portanto:
    a1+a2=22
    8+a2=22
    a2=22-8
    a2=14

– Para achar o valor da razão, fazemos a2-a1:
r=a2-a1
r=14-8
r=6   
Resposta certa, letra “B”.


10) (UFRGS) Para [tex3]p[/tex3] e [tex3]q[/tex3] inteiros positivos, a soma dos cem primeiros múltiplos de [tex3]p[/tex3] é [tex3]A[/tex3] e a soma dos 100 primeiros múltiplos de [tex3]q[/tex3] é [tex3]B[/tex3]. O valor de [tex3]A+B[/tex3] é
(A) [tex3]200pq[/tex3]
(B) [tex3]200(p + q)[/tex3]
(C) [tex3]500(p + q)[/tex3]
(D) [tex3]5050(p + q)[/tex3]
(E) [tex3]5050pq[/tex3]

– Sabemos que os múltiplos de um número “n” seguem conforme uma PA de razão r=n e a1=n. Exemplo, os múltiplos de 5:

{5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50…}

– Então para os múltiplos de “p” temos uma PA com r=p e a1=p. O problema diz que “A” é a soma dos 100 primeiro múltiplos de “p”. Podemos aplicar a fórmula da soma dos termos de uma PA, mas para isso devemos saber o valor de a100, vamos calculá-lo aplicando a fórmula do termo geral:
a100=a1+(100-1)r
a100=p+99·p
a100=100p

Agora podemos calcula a soma dos cem primeiros, ou seja, o valor de “A”.
S100=(a1+a100)·100/2
    S100=(p+100p)·50
    S100=(101p)·50
p=5050p

– Com este mesmo raciocínio vamos calcular “B”.
a100=100q
S100=(q+100q)·50
S100=(101q)·50
S100=5050q

– Concluímos que o valor de A+B é 5050p+5050q, colocando o 5050 em evidência, temos:
5050(p+q) resposta certa, letra “D”.


11) (PUC) A quantidade de meios aritméticos que se devem interpolar entre -a e 20a, a fim de se obter uma PA de razão 7, é
(A) [tex3]3a-2[/tex3]
(B) [tex3]3a-1[/tex3]
(C) [tex3]3a[/tex3]
(D) [tex3]3a+1[/tex3]
(E) [tex3]3a+2[/tex3]

– Informações:
a1=-a    an=20a     r=7

– Vamos utilizar a fórmula do termo geral:

[tex3]a_n=a_1+(n-1)\cdot r\\20a=-a+(n-1)\cdot 7\\20a+a=7n-7\\21a+7=7n\\n=\frac{21a+7}{7}\\n=3a+1[/tex3]

Agora não caia no pega-ratão, acabamos de calcular o número de termos que deve ter a progressão. O exercício pede quantos devem ser INSERIDOS entre -a e 20a, portanto devemos diminuir duas unidades:

3a+1-2
3a-1
    Resposta certa letra “B”.


12


13) (UFSM) Tisiu ficou sem parceiro para jogar bolita (bola de gude); então pegou sua coleção de bolitas e formou uma sequência de “T” (a inicial de seu nome), conforme a figura:


Supondo que o guri conseguiu formar 10 “T” completos, pode-se, seguindo o padrão, afirmar que ele possuía:
(A) mais de 300 bolitas.
(B) pelo menos 230 bolitas.
(C) menos de 220 bolitas.
(D) exatamente 300 bolitas.
(E) exatamente 41 bolitas.

Veja a resolução da questão 13 feita no fórum clicando aqui.

GABARITO
01-C 04-C 07-D 10-D
02-A 05-C 08-B 11-B
03-B 06-E 09-B