05 – Resolução de Recíprocas

O estudo de equações recíprocas é interessante pelo método de resolução utilizado.

Uma equação do quarto grau, recíproca, possui uma estratégia muito peculiar de resolução que sempre nos levará à resposta sem muita complicação. Veja a seguir.

Vamos resolver a seguinte equação recíproca:

1)

Esta é uma equação polinomial recíproca de primeira espécie e do quarto grau. O início da resolução consiste em dividir os dois lados da equação por (já que x = 0 não é uma resposta):

Efetuando as divisões:

Vamos modificar a ordem das parcelas colocando os números iguais um ao lado do outro:

Colocando alguns termos em evidência, teremos:

(1)              

Esta será nossa equação (1). Agora que vem o lance especial de equações recíprocas. Vamos criar uma nova variável para nos auxiliar, vamos dizer que:

(2)               

Esta será nossa equação (2). Vamos elevar os dois lados ao quadrado e criar a equação (3):

Finalizando os cálculos:

(3)              
Substituindo (2) e (3) em (1), teremos:

Aplicando Bhaskara nesta equação do segundo grau, teremos:

e
Agora, estes valores de “t” podemos substituir na equação (2):

SUBSTITUINDO O VALOR DE “t” NA EQUAÇÃO (2)
(2)               

Tirando o MMC, e efetuando alguns cálculos, teremos:

Aplicando Bhaskara nesta equação, teremos:

   e   

Tirando o MMC, e efetuando alguns cálculos, teremos:

Aplicando Bhaskara nesta equação, teremos:

   e   

Estes valores de “x” são as raízes da equação

72x4 – 6x3 – 181x2 -6x +72 = 0

Com este procedimento, conseguimos calcular qualquer tipo de equação recíproca do quarto grau