03 – Recíprocas 2° Espécie

Vamos pegar uma equação recíproca de primeira espécie, que não tenha as raízes “1” nem “-1”, ou seja, de grau PAR (“n” par):

a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + … + a2x2 + a1x + a0 = 0

Agora vamos incluir nela a raiz “1”, ou seja, vamos multiplicar toda a equação pelo fator (x – 1).

(x – 1) . (a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + … + a2x2 + a1x + a0) = 0

Efetuando a propriedade distribuitiva:

(a0xn+1 + a1xn + … + a1x2 + a0x) – (a0xn + a1xn-1 + … + a1x + a0)= 0

Efetuando as contas com os termos que possuem mesmo grau, teremos:

(1)      

a0xn+1 + (a1 – a0)xn + (a2 – a1)x2 + … + (a1 a2)x2 + (a0a1)x a0= 0

Note que, exatamente como vimos na página inicial, os coeficientes eqüidistantes dos extremos (grifados com a mesma cor) são opostos (iguais em módulo mas com sinal trocado). Isto nos prova que o fator (x – 1)“transforma” uma equação recíproca de primeira espécie em uma de segunda espécie.

Aliás, só será recíproca de segunda espécie a equação que tiver a raiz “1”, caso contrário não há maneira de conseguirmos a simetria oposta nos coeficientes.

E, se a equação (1) fosse multiplicada por (x – 1) novamente? Faça o exercício e veja você mesmo. A equação volta a ser de primeira espécie. E então, quando multiplicarmos de novo por (x – 1) voltará a ser de segunda espécie, e assim sucessivamente. Com este raciocínio, podemos concluir:

TODA EQUAÇÃO POLINOMIAL RECÍPROCA DE SEGUNDA ESPÉCIE POSSUI A RAIZ “1” COMMULTIPLICIDADE ÍMPAR.

Em cima desta conclusão, podemos pensar mais um pouquinho. Já que as equações recíprocas de segunda espécie SEMPRE terão a raiz “1” com multiplicidade ímpar (mais as raízes “em pares” recíprocas umas das outras), a única possibilidade de termos uma recíproca de segunda espécie com grau par é incluindo um acompanhante para a raiz que está sozinha (a raiz “1”), para formar o par. Ou seja, a única possibilidade é incluir a raiz “-1”:

TODA EQUAÇÃO POLINOMIAL RECÍPROCA DE SEGUNDA ESPÉCIE COM GRAU PAR TERÁ AS RAÍZES “1” E “-1”.

Existe mais uma característica das recíprocas de 2a espécie com grau par. Para vê-la, vamos pegar uma equação genérica de 2aespécie de grau ímpar e incluir a raiz “-1”, ou seja, multiplicar por (x + 1) para termos uma equação recíproca de 2a espécie de grau par genérica:

a0xn + a1xn-1 + … + Mxn/2Mx(n/2)-1 – … – a1x – a0 = 0

Onde “n” é um número ímpar e M é o
coeficiente dos termos centrais do desenvolvimento.

Multiplicando por (x + 1):

(x + 1) . (a0xn + a1xn-1 + … + Mxn/2Mx(n/2)-1 – … – a1x – a0) = 0

(a0xn+1 + a1xn + … + Mx(n/2)+1Mx(n/2) – … – a1x2 – a0x) + (a0xn + a1xn-1 + … + Mxn/2Mx(n/2)-1 – … – a1x – a0) = 0

a0xn+1 + (a1 + a0)xn + …   +(MM)x(n/2) – … – (a0 + a1)+ x – a0 = 0

Esta é uma equação genérica da recíproca de segunda espécie com grau par. Note que o termo central será anulado (M – M = 0). Esta é a última característica deste tipo de equação, o termo médio é nulo.

TODA EQUAÇÃO RECÍPROCA DE SEGUNDA ESPÉCIE COM GRAU PAR DEVE TER, OBRIGATORIAMENTE, OTERMO MÉDIO DE SEU DESENVOLVIMENTO NULO.

Veja alguns exemplos:

5x4 – 3x3 + 3x – 5 = 0

6x8 + 3x7 – 91x6 + x5 – x3 + 91x2 – 3x – 6 = 0

Se esta propriedade não estiver presente na equação, não será uma recíproca.

11x4 – 8x3 + 5x2 + 8x – 11 = 0 Não é uma equaçào recíproca pois, sendo par e de segunda espécie,
deveria ter o termo médio nulo.

Veja na próxima página um resumo com todas as propriedades de recíprocas 🙂