08 – Mudança de Base

Em algumas questões, pode ser apresentado um logaritmo que possui uma base não muito boa para a resolução da questão.

Nestas situações é necessário que troquemos a base do logaritmo!

Neste capítulo iremos aprender o que fazer para colocarmos qualquer base que quisermos no logaritmo da questão.

A regra é a seguinte:

Mudança de Base

Ou seja, se tivermos um logaritmo na base b, podemos transformar em uma fração de logaritmos em uma outra base qualquer c.

a base nova “c”, pode ser qualquer número que
satisfaça a condição de existência da base, ou seja,c > 0 e c ≠ 1.

Por exemplo, seja o logaritmo de 45 na base 3: . Mudando para a base 7, teremos: . Poderíamos ter colocado qualquer outra base c no lugar do 7.


Podemos provar essa propriedade partindo da fração. Vamos igualar a fração a x e encontrar o valor de x.

Vamos aplicar uma base c de potência nos dois lados da igualdade:

Agora podemos aplicar a 4° conseqüência da definição no lado esquerdo e rescrever a potência do lado direito:

E aplicar novamente a 4° conseqüência, agora no lado direito:

Com a equivalência fundamental:

Que é exatamente o valor que queríamos chegar.


(UFRGS) Sabendo que e , então o logaritmo de a na base b é

(A)
(B)
(C)

(D)

(E)

É dado o valor do logaritmo de a na base 10 e é pedido o logaritmo de a na base b.

Para adequar o pedido ao informado, vamos transformar o para a base 10.

Este valor encontrado possui termos que foram dados no enunciado, portanto, podemos substituir:


Esta propriedade de mudança de base gera algumas conseqüências legais de sabermos para resolver equações envolvendo logaritmos.

No próximo capítulo você irá aprender estas conseqüências.