01 – Funções – Geral

Na matemática, muitas coisas são expressas em relação à outras coisas. Por exemplo:

– Você se lembra como se acha a área de um quadrado?

– Isso mesmo, multiplicando o valor do lado por ele mesmo.

quadrado.gif (523 bytes)

Pois isso é uma relação, e podemos expressar essa relação pela fórmula matemática:

Área = Lado  X Lado

Observe a tabela abaixo:

Lado Área
2 4
5 25
9 81
12 144

De acordo com a tabela, observamos que:

– o valor do lado se modifica, ou seja, é uma grandeza variável;
– e o valor da área também varia, ou seja, também é uma grandeza variável;
– para cada valor do lado, associamos um único valor da área;
– Não existe nenhum valor de lado que não consigamos encontrar o respectivo valor de área.

Por isso podemos dizer que a área é uma função do lado do quadrado, e a fórmula matemática dada como relação (Área = Lado X Lado) é chamada de lei da associação ou fórmula matemática.

Dizemos que, na função Área do quadrado, o número 2, da coluna da esquerda, se relaciona com o número 4 da coluna da direita. O número 5 da esquerda se relaciona com o 25 na direita, e assim sucessivamente. Estas relações podem ser representadas também com conjuntos. Na próxima página você verá esta representação.

Neste início de estudo (e é o que a grande maioria das pessoas só vê em todo seu ensino médio) teremos somente duas variáveis em sua lei, no nosso exemplo são:

L = Lado e
A = Área
A = L²

“L” é nossa variável independente, pois o tamanho “independe” de outros fatores, ou seja, posso botar qualquer valor para o lado sem ter que obrigatoriamente antes mexer em outro lugar.
“A” é a nossa variável dependente, pois depende do tamanho do Lado, ou seja, não conseguimos modificar a área sem antes modificar o lado.

Você seria capaz de me dizer qual a relação existente entre o lado L do triângulo e seu perímetro?
Dica: Perímetro é a soma das medidas de todos os lados.

– Resposta:

O triângulo tem três lados, então Perímetro = 3 x Lado

Veremos agora a representação das relações entre os números em uma função através de conjuntos.

Vamos utilizar o mesmo exemplo anterior, observe:

Lado Área
2 4
5 25
9 81
12 144
conj1.gif (2612 bytes)

Nesta nova forma de visualizar, temos que cada conjunto representa uma coluna da tabela do exemplo anterior, e as flechas representam a relação A=L².

O conjunto em que as flechas estão saindo pode ser chamado de “conjunto de saída”. E o conjunto em que as flechas estão chegando pode ser chamado de “conjunto de chegada”.

Vamos fazer um exemplo mais prático, algo que já começa a aparecer em vestibulares:

– Dados os conjuntos A={5, 12, 23} e B={5, 7, 14, 15, 16, 25, 26}, a relação entre eles é expressa pela fórmula y = x + 2 com “x” pertencente ao conjunto A, e “y” pertencente ao conjunto B. Desenhe estas relações em forma de conjuntos:

conj2.gif (2668 bytes)

Veja que o relacionamento (a flecha) leva um número do conjunto de saída diretamente ao número duas unidades maior do que ele presente no conjunto de chegada (como manda a lei y=x+2).

Novamente observamos que:
– Todo elemento do conjunto “A” está relacionados a algum elemento do conjunto “B”;
– Para cada elemento do conjunto “A” está relacionado somente um elemento do conjunto “B”.

A fórmula (y = x + 2) é chamada de função de “A” em “B”. E pode-se escrever:

fab.gif (977 bytes)
(é lido como “f é uma função de A em B”)

Este é como se fosse uma “assinatura” da função.

Neste exemplo utilizamos “f” como sendo o nome da função, por isso escrevemos fab.gif (977 bytes). Se tivéssemos dado o nome da função de “g”, escreveríamos g: A —> B.


Esta foi uma apresentação um tanto quanto intuitiva para as relações.

Para que uma dessas relações entre dois conjuntos possa ser chamada de função, duas regras devem ser observadas (regras vistas intuitivamente nos exemplos acima).

Uma relação de de um conjunto A em um conjunto B será uma função somente se:

Obs1.: Note que a primeira regra não fala nada que não pode ter duas flechas chegando no mesmo elemento do conjunto de chegada. Ou seja, Um elemento do conjunto de chegada pode estar se relacionando com dois elementos do conjunto de saída.

Obs2.: Se uma relação não satisfaz estas duas regras, não será uma função. Será considerada apenas uma relação!


Digamos que temos uma função chamada de “g”, que relaciona elementos do conjunto R aos elementos do conjunto N. Dizemos isso matematicamente:

g: R —> N

Cuja lei de associação é y = 2x-1, como “y” é uma variável dependente de “x” também representamos “y” como sendo g(x), leia-se “gê de xis”. Ou seja, poderíamos ter escrito:

g(x) = 2x – 1

* Esta representação pode ser utilizada independente do nome da função. Veja mais dois exemplos:

y = x + 3                     h(x) = x + 3
y = 5x – 2                     f(x) = 5x – 2

A lei pode ser escrita de ambas formas, tendo o mesmo significado para Matemática.

Exemplos com soluções:

conj3.gif (3161 bytes)

Este exemplo não é uma função, pois o conjunto “A” tem um elemento sobrando, o que contraria a regra 2.

conj4.gif (3090 bytes)

Este exemplo é uma função, pois atende às exigências de uma função:
– Todos elementos de “A” possuem correspondentes;
– Para cada elemento de “A” é relacionado um e apenas um elemento de “B”.

Obs.: Veja que neste exemplo temos duas flechas chegando no elemento 25 do conjunto B, de chegada. Isso não tem problema, pois a regra 1 diz que não pode ter duas flechas no mesmo elemento do conjunto de saída.

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