11 – Exercícios Gerais

1) A representação cartesiana da função é a parábola abaixo. Tendo em vista esse gráfico, podemos afirmar que:

exe1.gif (1430 bytes)

(A) a<0, b<0 e c>0
(B) a>0, b>0 e c<0
(C) a>0, b>0 e c>0
(D) a<0, b>0 e c<0
(E) a<0, b>0 e c>0

2) Qual a função que representa o gráfico seguinte?

exe2.gif (2682 bytes)

(A)
(B)
(C)
(D)
(E)


3) O valor mínimo do polinômio , cujo gráfico é mostrado na figura, é:

exe3.gif (1535 bytes)

(A)
(B)

(C)

(D)

(E)


4) (UFRGS) As soluções reais da desigualdade são os números x, tais que

(A)
(B)
(C)
(D)
(E)


5) (UFRGS) O movimento de um projétil, lançado para cima verticalmente, é descrito pela equação . Onde y é a altura, em metros, atingida pelo projétil x segundos após o lançamento. A altura máxima atingida e o tempo que esse projétil permanece no ar corresponde, respectivamente, a

(A) 6,25 m, 5s
(B) 250 m, 0 s
(C) 250 m, 5s
(D) 250 m, 200 s
(E) 10.000 m , 5s


6) (UFRGS) Considere a função , definida por , com e . O gráfico de f

(A) não intercepta o eixo das abscissas
(B) intercepta o eixo horizontal em dois pontos, de abscissas negativa e positiva respectivamente
(C) intercepta o eixo das abscissas em um único ponto
(D) intercepta o eixo das abscissas em dois pontos, ambos positivos.
(E) intercepta o eixo das ordenadas em dois pontos.


7) A razão entre a soma e o produto das raízes da equação

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)


8) A solução de é

(A) (0, 1)
(B) (-, 0)U(1, +)
(C) (-1, 1)
(D) (-, -1)U(1,+)
(E) R


9) (UFRGS) Para que a prábola da equação contenha os pontos (-2; 1) e (3; 1), os valores de a e b são, respectivamente,

(A) e

(B) e

(C) e

(D) e

(E) e


10) O vértice da parábola que corresponde à função é

(A) (-2, -2)
(B) (-2, 0)
(C) (-2, 2)
(D) (2, -2)
(E) (2, 2)


11) A figura abaixo ilustra uma ponte suspensa por estruturas metálicas em forma de arco de parábola.

função segundo grau

Os pontos A, B, C, D e E estão no mesmo nível da estrada e a distância entre quaisquer dois consecutivos é 25m. Sabendo-se que os elementos de sustentação são todos perpendiculares ao plano da estrada e que a altura do elemento central CG é 20m, a altura de DH é:

(A) 17,5m
(B) 15,0m
(C) 12,5m
(D) 10,0m
(E) 7,5m


GABARITO
01-E 04-D 07-A 10-E
02-C 05-C 08-A 11 – B
03-C 06-B 09-B

 

RESOLUÇÃO

1) A representação cartesiana da função é a parábola abaixo. Tendo em vista esse gráfico, podemos afirmar que:

exe1.gif (1430 bytes)

(A) a<0, b<0 e c>0
(B) a>0, b>0 e c<0
(C) a>0, b>0 e c>0
(D) a<0, b>0 e c<0
(E) a<0, b>0 e c>0

 

        Isto é apenas análise de coeficientes:
– a concavidade da parábola está para baixo, portanto, o coeficiente “a” é negativo (a<0);
– a parábola corta o eixo Y (eixo vertical) em um ponto acima da origem, logo “c” é positivo (c>0);
– após o ponto de corte do eixo Y, a parábola sobe, então “b” é positivo;
– resposta certa letra “E”.


2) Qual a função que representa o gráfico seguinte?

exe2.gif (2682 bytes)

(A)
(B)
(C)
(D)
(E)

        – no  gráfico é indicado quais são as raízes da função (-3/2 e 3), então sabemos quais são os fatores da equação (x+3/2) e (x-3). Agora efetuando a multiplicação entre estes dois fatores, achamos uma suposta equação para este gráfico:

        exeresolv1.gif (1566 bytes)

        – mas esta é somente uma suposta equação, pois veja quanto vale seu coeficiente “c”. Ele vale -9/2, e no gráfico mostra que ele deve valer “-9”. Então, o que devemos fazer para -9/2 virar -9? Isso mesmo, multiplicar TUDO por 2. Daí teremos a equação certa.

2x2-3x-9         Letra “C”


3) O valor mínimo do polinômio , cujo gráfico é mostrado na figura, é:

exe3.gif (1535 bytes)

(A)
(B)

(C)

(D)

(E)

      – este exercício envolve dois tópicos de equações quadráticas: calcular a equação e calcular o vértice;
– é dada uma equação incompleta, sendo indicado somente o valor de “a” (a=1). Porém, no gráfico podemos descobrir as raízes e achar os fatores da função. As raízes são 0 e 3, portanto os fatores, (x-0) e (x-3). Vamos multiplicar os fatores:

        exeresolv2.gif (1267 bytes)

        – agora sabemos qual é a equação, e é pedido o valor mínimo da função (Yv). Colocando na fórmula:

exeresolv3.gif (1029 bytes)  Resposta certa, letra “C”


4) (UFRGS) As soluções reais da desigualdade são os números x, tais que

(A)
(B)
(C)
(D)
(E)

        – esta é uma questão de análise de sinal, pois a equação dada pode ser escrita da seguinte forma:

x2+1>2x      =>    x2-2x+1>0

        – agora, o que está sendo perguntado é: quando a equação x2-2x+1 é positiva? Vamos fazer a análise de sinal, para isso devemos calcular as raízes. Aplicando Bhaskara, achamos 1 e 1 (raízes idênticas). Portanto, o esboço do gráfico é assim:

exeresolv4.gif (1624 bytes)

        – o exercício pede quando ela é positiva. Veja que ela está toda em cima da origem, mas atenção no ponto x=1. Ela vale ZERO, e zero não é positivo nem negativo, portanto ela será positiva em todos os números, menos no 1. Resposta certa letra “D”


5) (UFRGS) O movimento de um projétil, lançado para cima verticalmente, é descrito pela equação. Onde y é a altura, em metros, atingida pelo projétil x segundos após o lançamento. A altura máxima atingida e o tempo que esse projétil permanece no ar corresponde, respectivamente, a

(A) 6,25 m, 5s
(B) 250 m, 0s
(C) 250 m, 5s
(D) 250 m, 200s
(E) 10.000 m , 5s

        – primeiro devemos fazer o esboço do gráfico. Veja como é:

exeresolv10.gif (2043 bytes)

        – sabendo que o eixo X representa o tempo e o eixo Y representa a altura, então calculando o Yv teremos a altura máxima atingida, e a outra raiz será o tempo que o projétil permanece no ar.

exeresolv11.gif (1514 bytes)   Resposta certa letra “C”


6) (UFRGS) Considere a função , definida por , com e . O gráfico de f

(A) não intercepta o eixo das abscissas
(B) intercepta o eixo horizontal em dois pontos, de abscissas negativa e positiva respectivamente
(C) intercepta o eixo das abscissas em um único ponto
(D) intercepta o eixo das abscissas em dois pontos, ambos positivos.
(E) intercepta o eixo das ordenadas em dois pontos.

        – é dito que o coeficiente “a” é menor que zero, e o “c” é maior que zero. Portanto, deve ter concavidade para baixo (boca triste) e cortar o eixo Y em um ponto acima da origem. Podemos fazer um esboço gráfico da seguinte maneira:

exeresolv12.gif (1615 bytes)

        – este é um gráfico que poderia ser da função dada. A única alternativa que bate com este gráfico é a letra “B”.

        – P.S.: Eixo das Abscissas é o eixo X e eixo das ordenadas é o eixo Y.


7) A razão entre a soma e o produto das raízes da equação

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

        – a soma vale 7/2 e o produto vale 3/2, portanto a razão entre a soma e o produto vale:

exeresolv5.gif (1134 bytes)  Resposta certa letra “A”

        – Obs.: Sempre que for pedido razão de dois termos, o que vai em cima da divisão é o que foi dito primeiro, portanto ele pede a “soma” dividida pelo “produto”.


8) A solução de é

(A) (0, 1)
(B) (-, 0)U(1, +)
(C) (-1, 1)
(D) (-, -1)U(1,+)
(E) R

        – aqui é outro exercício de “análise de sinal”. A equação dada só está um pouco “bagunçada”. Vamos arrumá-la:

exeresolv6.gif (1049 bytes)

        – agora, o que é pedido é: quando a função é positiva?
– vamos fazer a análise dos sinais, primeiro calculando as raízes, que são 0 e 1. Portanto o esboço do gráfico é o seguinte:

exeresolv7.gif (1856 bytes)

        – portanto, ela é positiva no intervalo de zero até um (0,1). Resposta certa letra “A”.


9) (UFRGS) Para que a prábola da equação contenha os pontos (-2; 1) e (3; 1), os valores de a e b são, respectivamente,

(A) e

(B) e

(C) e

(D) e

(E) e

        – os pontos dados são coordenadas (X, Y) então o que devemos fazer é substituir cada um deles em uma equação:

exeresolv13.gif (1312 bytes)

exeresolv14.gif (1298 bytes)

        – achamos duas equações com duas incógnitas. Agora devemos resolver o sisteminha formado pelas duas:

exeresolv15.gif (1108 bytes)

        – substituimos o valor de a na primeira equação e substituímos na segunda:

exeresolv16.gif (1210 bytes)

Agora substituindo o valor de “a” na segunda equação:

exeresolv17.gif (1590 bytes)

Voltamos para a primeira equação e substituimos o valor de “b” para achar o valor de “a”:

exeresolv18.gif (1420 bytes)

Resposta certa letra “B”.


10) O vértice da parábola que corresponde à função é

(A) (-2, -2)
(B) (-2, 0)
(C) (-2, 2)
(D) (2, -2)
(E) (2, 2)

        – a única dificuldade deste exercício é achar a função escrita de um modo mais organizado. Vamos calcular o parênteses, que está ao quadrado:

exeresolv8.gif (1235 bytes)

    – agora é só calcular o valor das coordenadas do vértice, sabendo que a=1 b=-4 e c=6.

exeresolv9.gif (1498 bytes)   Resposta certa letra “E”


11) A figura abaixo ilustra uma ponte suspensa por estruturas metálicas em forma de arco de parábola.

função segundo grau

Os pontos A, B, C, D e E estão no mesmo nível da estrada e a distância entre quaisquer dois consecutivos é 25m. Sabendo-se que os elementos de sustentação são todos perpendiculares ao plano da estrada e que a altura do elemento central CG é 20m, a altura de DH é:

(A) 17,5m
(B) 15,0m
(C) 12,5m
(D) 10,0m
(E) 7,5m

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