07 – Exercícios Equações Exponenciais

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1) (PUCRS) Se 223x =256, então x pertence ao intervalo

(A) [0; 1)
(B) (0; 2)
(C) (1; 2)
(D) (1; 3)
(E) (2; 3)


2) (UNISINOS) Se exercicios1.gif (1130 bytes), então x é:

(A) -1
(B) 2
(C) 4
(D) 6
(E) 8


3) (UFRGS) A solução da inequação 0,5(1-x) > 1 é o conjunto

(A) {x pertence.gif (828 bytes) R | x > 1}
(B) {x pertence.gif (828 bytes) R | x < 1}
(C) {x pertence.gif (828 bytes) R | x > 0}
(D) {x pertence.gif (828 bytes) R | x < 0}
(E) R


4) (UNISINOS) Os valores de a e x para os quais a igualdade a(x-3)0=32 é verdadeira

(A) a=1 e x=9
(B) a=3 e x=5
(C) para todo valor de x ≠3 e a=9
(D) a=6 e x=5
(E) para qualquer valor de x≠3 e a=3


5) (CAJU) A soma dos valores das soluções da equação exercicios2.gif (1068 bytes) é:

(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 36
(E) 42


6) (CAJU) O produto dos valores das soluções da equação 7x-1-50=-73-x é:

(A) 3
(B) 4
(C) 2401
(D) 350
(E) 1


7) (IPA/IMEC) Se 2x+2-x=10 então 4x+4-x vale

(A) 40
(B) 50
(C) 75
(D) 98
(E) 100


8) (MAUÁ) A solução da equação exercicios3.gif (1078 bytes) é:

(A) -5
(B) -4
(C) -3
(D) -2
(E) -1


9) (CAJU) O gráfico que melhor representa a função exercicios4.gif (967 bytes) é:

   (A) exercicios5a.gif (1277 bytes)    (B) exercicios5b.gif (1268 bytes)
   (C) exercicios5c.gif (1324 bytes)    (D) exercicios5e.gif (1302 bytes)
   (E) exercicios5e.gif (1302 bytes)

GABARITO
01-B 04-C 07-D
02-C 05-C 08-E
03-A 06-A 09-D

 

RESOLUÇÃO

1) (PUCRS) Se , então x pertence ao intervalo

    (A) [0; 1)
(B) (0; 2)
(C) (1; 2)
(D) (1; 3)
(E) (2; 3)

– Neste exercícios podemos dizer que a potência da esquerda tem “4 níveis”. Temos que ir “cortando” um a um. Vamos igualar a primeira base:

Agora podemos cortar a base 2.

Igualamos novamente, podemos cortar a nova base 2.
Igualadas novamente, temos o valor de “x”.
O único intervalo que contém o 1 é o da letra “C”. Note que nas respostas “A”, “C” e “D” o número 1 aparece “aberto” (com parênteses) portanto não faz parte do conjunto. Resposta certa, letra “C”

2) (UNISINOS) Se , então x é:

    (A) -1
(B) 2
(C) 4
(D) 6
(E) 8

– Primeiro vamos transformar todos os números decimais em frações (fica mais fácil):

– Agora é só calcular:

Resposta certa, letra “C”.


3) (UFRGS) A solução da inequação é o conjunto

    (A)
(B)
(C)
(D)
(E)

– O lado direito da inequação podemos trocar por e já temos as bases igualadas.

Agora podemos cortar as bases.

Mas, atenção: quando temos a base menor do que 1 e maior que zero (0 < b < 1) devemos inverter a desigualdade ao cortar as bases.

(1-x) < 0
1-x < 0

-x < -1    Vamos multiplicar ambos os lados por -1 (lembre-se que quando fazemos isso devemos trocar novamente a desigualdade)
x > 1    Resposta certa letra “A”.


4) (UNISINOS) Os valores de a e x para os quais a igualdade a(x-3)0=32 é verdadeira

    (A) a=1 e x=9
(B) a=3 e x=5
(C) para todo valor de xdiferente.gif (832 bytes)3 e a=9
(D) a=6 e x=5
(E) para qualquer valor de xdiferente.gif (832 bytes)3 e a=3

– A primeira coisa que devemos olhar é que o “a” está elevado na potência (x-3)0 que vale 1, mas nem sempre. Não podemos ter 00 , portanto xdiferente.gif (832 bytes)3. Agora fica fácil:

a1=32
a=9 
Resposta certa letra “C”.


5) (CAJU) A soma dos valores das soluções da equação exercicios2.gif (1068 bytes) é:

    (A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 36
(E) 42

– Vamos utilizar as propriedades das potências e também tirar o MMC:

exeresolvi3.gif (1369 bytes)

– Agora cortando o denominador e igualdando à zero:

    -62x+42·6x-216=0
    -(6x)2+42·6x-216=0

– Neste momento devemos utilizar a técnica de troca de base. Vamos arbitrar 6x=y e teremos:

    -y2+42y-216=0

Agora vamos resolver este equação do segundo grau com a fórmula de Bhaskara.

exeresolvi4.gif (2070 bytes)

– Esta não é a resposta, são os valores de y. Agora devemos substituir na fórmula criada por nós: 6x=y.

6x = 6

x = 1

6x = 36

6x = 62

x = 2

– Como o exercício pede a soma dos valores: 2+1=3 Resposta certa, letra “C”.

6) (CAJU) O produto dos valores das soluções da equação 7x-1-50=-73-x é:

    (A) 3
(B) 4
(C) 2401
(D) 350
(E) 1

– Vamos primeiro utilizar as propriedades de potênciação e colocar esta equação em uma forma mais “amigável”:

exeresolvi5.gif (1047 bytes)

– Agora tirando o MMC:

exeresolvi6.gif (1152 bytes)

– Pronto, podemos cortar o denominador e temos uma equação um tanto quanto mais amigável! Agora vamos arrumá-la para trocarmos a variável:

72x-350·7x=-2401
(7x)2-350·7x+2401=0

– Vamos efetuar a técnica de troca de variáveis. Dizemos 7x=y e temos:

y2-350y+2401=0    Aplicando Bhaskara

exeresolvi7.gif (2578 bytes)

– Novamente, estes são os valores de “y”, e não de “x”. Para calcular os valores de “x” temos:

7x=y
7x=343
7x=73
x=3
7x=y
7x=7
x=1

– Como o exercício pede o produto dos valores, 3·1=3. Resposta certa, letra “A”.

7) (IPA/IMEC) Se 2x+2-x=10 então 4x+4-x vale

    (A) 40
(B) 50
(C) 75
(D) 98
(E) 100

– Aplicando as propriedades de potenciação, o que o exercício dá e pede é:

exeresolvi8.gif (1258 bytes)

– Este problema é o tipo de exercício que se você nunca viu como se faz, nunca iria conseguir fazer. Para resolvê-lo devemos pegar a equação dada e elevar ao quadrado ambos os lados. Veja só:

exeresolvi9.gif (1227 bytes)

– Agora devemos efetuar ambos os lados. Não esqueça da regra para o produto notável da esquerda:

exeresolvi10.gif (2155 bytes)Pronto, exercício resolvido. Resposta certa letra “D”.


8) A solução da equação exercicios3.gif (1078 bytes) é:

    (A) -5
(B) -4
(C) -3
(D) -2
(E) -1

– Primeiro de tudo, vamos efetuar a soma de frações do denominador da esquerda da equação:

exeresolvi11.gif (1107 bytes)

– Efetuando as operações:

exeresolvi12.gif (1011 bytes)

8x-1=-7·8x
8x+7·8x=1   
Colocando o 8x em evidência
8x·(1+7)=1
8x·8=1         Multiplicação de potências de mesma base.
8x+1=1         Sabemos que qualquer número elevado na potência ZERO vale 1.
8x+1=80       Cortando as bases
x+1=0
x=-1              Resposta certa, letra “E”.


9) (CAJU) O gráfico que melhor representa a função exercicios4.gif (967 bytes) é:

   (A) exercicios5a.gif (1277 bytes)    (B) exercicios5b.gif (1268 bytes)
   (C) exercicios5c.gif (1324 bytes)    (D) exercicios5e.gif (1302 bytes)
   (E) exercicios5e.gif (1302 bytes)
– Como vimos no capítulo de gráficos, o gráfico de uma função exponencial depende da base.

Neste exercício a base é o número π que vale aproximadamente 3,14.

Sende este número maior do que 1, o gráfico desta função deve, obrigatoriamente, ser crescente.

Portanto, a única alternativa que se parece com o gráfico de uma exponencial crescente é a letra “D”.