03 – Resolução de Equações Exponenciais do Tipo II

Existem alguns tipos de equações exponenciais que necessitam de uma outra forma de resolução. Veja o exemplo:

2·22x-6·2x-8=0

Se quiséssemos simplesmente igualar as bases, não conseguiríamos (tente você), pois aquele número 8 está atrapalhando.

Para resolver esta questão temos que usar uma nova técnica. Esta técnica consiste em trocar a variável (calma lá, vou explicar direirtinho).

Esta equação pode ser escrita da seguinte forma sem perder seu valor:

2·(2x)2-6·2x-8=0

Agora que entra a nova técnica. Vamos substituir o valor de “2x pela variável “y” criada por nós. Veja como fica:

2x = y

2y2 – 6y – 8 = 0

Veja que caímos em uma equação do segundo grau.

Calculando as raízes por Bhaskara achamos y=4 e y=-1.

Atenção: aqui temos um pega-ratão, tem que ficar esperto! Estes valores (4 e -1) não são as respostas do problema, pois são os valores de “y“, a variável que nós criamos.

O problema pede os valores de “x”. Para acharmos os valores de “x” devemos calcular a igualdade 2x=ycom os valores de “y” que calculamos:

y = 2x

4 = 2x

22 = 2x

x = 2

y = 2x

-1 = 2x

Esta resposta não existe, pois não há nenhum expoente que possamos elevar o 2 e dê um resultado negativo, no caso -1.

Portanto, a resposta é x=2


Tente resolver o próximo, depois veja a resolução abaixo (Gabarito é letra “D”).

1)(PUC-RS) A soma das raízes da equação fexpo1.gif (1102 bytes) é

    (A) 10
(B) 8
(C) 4
(D) 2
(E) 1

Primeiro vamos organizar a equação de modo que fique mais fácil fazer a troca de variável:

fexpo2.gif (1224 bytes)

Agora está pronta para trocar. Vamos dizer que 4x=y , trocando:

fexpo3.gif (1510 bytes)

Aí está a equação do segundo grau que devemos calcular, mas antes vamos arrumá-la: tirar MMC …

fexpo4.gif (1224 bytes)

Aplicando Bhaskara achamos as raízes {2 e 8} , olha o pega ratão!!! Estes são os valores de “y” , e o problema pede a soma dos valores de “x” , não vá marcar letra “A” . Para achar os valores de “x” devemos substituir o “y” na equação 4x=y que criamos no início:

4x=y
4x=2
22x=2
2x=1

x=1/2

4x=y
4x=8
4x=23
22x=23
2x=3

x=3/2

Estas são as duas respostas, como o problema pede a soma:

1/2 + 3/2 = 4/2 = 2

Resposta certa letra “D”.